BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES 
1° Sciences mathématiques 
Lebesgue (Henri), Maître de conférences à la Faculté 
des Sciences de Rennes. — Leçons sur l'intégration 
et la recherche des Fonctions primitives, pr'ofes- 
sées au Collège de France. — 1 vol. grand in-8 de 
vu-438 pages. (Prix : 3 fr. 50.) Gauthier-Villars, 
éditeur, Paris, 1904. 
A l'origine du Calcul intégral, on fit reposer sur la 
notion d’aire, admise à priori, l'existence, pour une 
fonction donnée f(x) d'une variable x, d'une fonction 
primitive, admettant f(x) pour dérivée; cela conduisit 
aussitôt à des fonctions primitives qui n'étaient pas 
toujours exprimées à l'aide des opérations algébriques, 
trigonométriques et logarithmiques élémentaires ; 
d'autre part, on signala bientôt l'existence de fonctions 
composées avec ces opérations élémentaires, et cepen- 
dant non continues, au sens adopté alors (continuité 
eulérienne) : telle, par exemple, la fonction +V x°, ré- 
ductible à 4-x pour x positif, et à — x pour x négatif 
(représentation graphique formée de deux demi-droites 
rectangulaires issues de l’origine); la série de Fourier 
en fournit d’autres exemples. Ces faits amenèrent Cau- 
chy à introduire les définitions aujourd’hui classiques 
de fonction, de continuité et d’intégrale définie consi- 
dérée comme limite de somme et conduisant à l’inté- 
grale indéfinie et à la fonction primitive : après l'avoir 
brièvement rappelé, M. Lebesgue expose les générali- 
sations successives qui sont nées de ce point de départ, 
et qui se rapportent à l'intégration d'une fonction f(x) 
possédant des discontinuités entre les limites de l'inté- 
gration; ce ne sont pas là des recherches de pure spé- 
culation, car des problèmes simples en apparence, ren- 
contrés notamment en Physique mathématique, y con- 
duisirent naturellement. Après avoir traité tout d'abord, 
d’après Cauchy, le cas d’une fonction f(x) qui à un 
nombre limité de discontinuités dans le champ de l'in- 
tégration, l'auteur termine le premier chapitre par 
l'étude, d’après Lejeune-Dirichlet et Lipschitz, du cas 
où les discontinuités sont en nombre illimité, mais 
forment un ensemble non deuse. (Voir Borel, Théorie 
des fonctions.) 
On aborde alors le cas où les points de disconti- 
nuité, en nombre infini, forment un ensemble dense : 
Riemann a donné de ce cas l'exemple classique de la 
fonction 
n=® 
4 (2x) 
— 
n=1 
(a entier), 
(ux) désignant la différence entre »x et l’entier le plus 
voisin; on en sait former beaucoup d’autres exemples. 
Riemann a étendu à de telles fonctions une définition 
de l'intégrale définie, tout à fait analogue à celle que 
Cauchy avait donnée pour les fonctions continues; 
M. Lebesgue, après avoir établi les propriétés essen- 
tielles des fonctions en question, notamment celles qui 
se rapportent à l’oscillation de la fonction, montre que, 
pour appliquer la définition de Riemann, il est néces- 
saire et suffisant que l'oscillation moyenne de la fonc- 
tion intégrée soit nulle; il transforme cette condition 
de diverses manières, de facon à y mettre en évidence 
le rôle des discontinuités, à l’aide des notions de groupe 
intégrable et d'ensemble de mesure nulle; puis il étudie 
les propriétés de l'intégrale obtenue. 
Puis, l'auteur ramène la définition de Riemann à 
une forme géométrique analogue à celle qui fut em- 
ployée au début du Caleul intégral; pour cela, il attache 
ET INDEX 
aux ensembles numériques des nombres analogue 
aux longueurs, aires, volumes attachés aux segments, 
aux domaines plans et aux domaines de l’espace : ük 
introduit les notions d'ensemble mesurable (suivant 
M. Jordan), de domaine quarrable, et donne une défi= 
nition géométrique de l'intégrale, entièrement équiva 
lente à la définition analytique de Riemann. 
Le chapitre suivant traite des fonctions dites à varia= 
tion bornée (M. Jordan) : elles sont intégrables au sens 
de Riemann; M. Lebesgue étudie leurs propriétés, 
montre que l’ensemble de leurs points de discontinuité 
est dénombrable, et applique ces fonctions aux courbes: 
dites rectifiables; 11 donne la démonstration du fait 
établi par M. Jordan que, pour qu'une courbe soit rec= 
tifiable, il faut et il suffit que les coordonnées x, y, Z 
du point mobile sur la courbe soient des fonctions à 
variation bornée d'un paramètre {; une courbe recti- 
fiable est quarrable. 
L'intégration riemanienne d’une fonction f(x) donne 
une intégrale indéfinie qui, si f(x) n’est pas continue 
pour x=—«, n'a pas forcément f(x) pour dérivée en ce 
point; on peut former ainsi des fonctions admettant 
un ensemble dense de points sans dérivée. L'intégra- 
tion s'applique à des fonctions qui ne sont pas forcé- 
ment des fonctions dérivées d’autres fonctions : telle, 
par exemple, une fonction toujours nulle, sauf pour 
x= 0, et dont la primitive, si elle existait, devrait être 
continue et constante, par suite à dérivée nulle, même 
pour x—0. Par conséquent, les deux problèmes de la 
recherche de l'intégrale indéfinie et de la fonction pri- 
mitive, considérés longtemps comme tout à fait iden 
tiques, ne le sont pas absolument. : 
Dans le chapitre sur la recherche des fonctions pri=\ 
mitives, M. Lebesgue étudie diverses généralisations du 
problème des fonctions primitives et l'application à ces. 
problèmes de l'intégrale indéfinie; il introduit pour. 
cela les nombres dérivés (Dubois-Reymond), et il éta=. 
blit la condition pour qu'une fonction intégrable soit. 
une fonction dérivée. Ù 
Après avoir remarqué qu'en pratique c'est presque 
toujours l'intégrale définie que l’on déduit de la fone- 
tion primitive obtenue tout d'abord, M. Lebesgue fait 
connaître certaines propriétés des séries uniformé-" 
ment convergentes de fonctions dérivées, qui per- 
mettent d'obtenir des primitives dans des cas étendus; 
il indique quelques caractères permettant de recon- 
naître qu'une fonction donnée n'est pas une fonction 
dérivée, et enfin il définit l'intégrale à l’aide des fonc- 
tions primitives, suivant Duhamel et Serret : cette défi- 
nition n’est pas équivalente à celle de Riemann, car, de 
mème qu'il existe des fonctions intégrables qui ne sont. 
pas des fonctions dérivées, il existe aussi des fonctions 
dérivées (c'est-à-dire ayant une primitive) non inté- 
grables au sens de Riemann; M. Lebesgue compare les 
intégrales de Duhamel et de Riemann. 
Enfin, dans le dernier chapitre: Les Fonctions som- 
mables, l'auteur propose de définir l'intégrale 
b 
ji f(x) dx 
par l’ensemble de six propriétés caractéristiques com=— 
munes ‘aux diverses définitions précédemment étudiées 
de l'intégrale. L'ensemble de ces propriétés forme une 
définition descriptive de l'intégrale, d'où M. Lebesgue 
déduit une définition constructive équivalente : pour 
cela, il ramène le problème à l'intégration de certaines 
fonctions qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, ce» 
qui l'amène à la mesure des ensembles; il introduit la 
