BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
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BIBLIOGRAPHIE 
ANALYSES ET 
4° Sciences mathématiques 
Humbert (G.), Membre de Tlnstitut, Professeur à 
l'Ecole Polytechnique. — Cours d'Analyse professé à 
l'Ecole Polytechnique, tome 11 : Compléments du 
- Calcul intégral, Fonctions analytiques et ellip- 
tiques, Equations différentielles. — 1 vol. gr. in-8° 
(Prix :16 fr.). Gauthier- Villars, éditeur, Paris, 1904. 
Le second volume de ce Cours d'Analyse contient 
es matières enseignées par M. Humbert aux élèves de 
seconde année de l'Ecole Polytechnique; dans une 
courte préface, l’auteur précise le caractère à la fois 
pratique et élevé qu'il a voulu donner à son enseigne- 
ment : il a pleinement atteint son but, en conduisant 
son auditoire jusqu'aux parties les plus élevées de 
l'Analyse par les méthodes les plus simples et le mieux 
appropriées aux applications; plus d’un ancien élève 
de nos grandes écoles scientifiques se plaira à la lec- 
ture de ce livre, dans lequel se trouvent traitées, d’une 
facon aisée et féconde en aperçus nouveaux, bien des 
questions dont l'étude, il n'y à pas encore longtemps, 
était laborieuse et souvent peu suggestive. 
L'ouvrage est divisé en trois parties. Dans la pre- 
mière, le Calcul intégral se complète par l'étude des 
intégrales multiples et de leurs principales applications. 
La définition de l'intégrale double, puis d’une intégrale 
multiple quelconque, est établie avec rigueur el sim- 
plicité; la pratique du calcul d'une intégrale multiple 
est accompagnée de nombreux exemples simples et 
usuels, volumes, centres de gravité, moments d'inertie, 
ete., etc. Le changement de variables, d’abord présenté 
de facon intuitive, est ensuite établi rigoureusement en 
changeant successivement chaque variable; puis vient 
l'étude de l'intégration multiple dans le cas d'un champ 
infini ou de discontinuités dans le champ de l'intégra- 
tion : l’auteur insiste avec soin sur la différence qui 
existe entre ce problème et son analogue dans le cas 
de l'intégration simple. Gette première partie se ter- 
mine par les généralités sur les intégrales de lignes et 
de surfaces, avec les importantes formules de Green, 
d'Ostrogradsky et de Stokes, et par Îles applications 
habituelles dé la théorie des intégrales multiples 
intégration sous le signe J, calcul de certaines inté- 
grales définies telles que : 
æ 
fl e—2 dx, 
a 
problème des tautochrones, intégrales eulériennes avec 
l'application qu'en a faite M. Hilbert à la démonstration 
de la transcendance du nombre e. 
La seconde partie est consacrée aux fonctions ana- 
lytiques; une fois posées les définitions préliminaires, 
le théorème fondamental de Cauchy sur l'intégration 
d'une fonction analytique d'une variable imaginaire 
est immédiatement déduit de la formule de Green, et 
il est suivi de ses conséquences ordinaires : dévelop- 
pements de Taylor, de Laurent, de Fourier; propriétés 
générales des fonctions holomorphes et méromorphes, 
théorème de Mittag-Leffler, d'où se déduit celui de 
Weierstrass sur la décomposition d'une fonction entière 
en facteurs primaires. Le théorème de Cauchy est 
ensuite appliqué au calcul des intégrales définies; la 
périodicité du sinus est mise en évidence par l'étude 
de l'intégrale : 
ÿ dz 
x VA —Z" 
INDEX 
et cette même étude, faite sur l'intégrale : 
dz 
“0 VTz — 04) (Z — C2) (Z — 3) : 
amène aux fonctions doublement périodiques. 
M. Humbert à rassemblé sous un très petit volume 
les éléments essentiels de la théorie des fonctions ellip- 
tiques ; on peut dire que rien n'y manque, car le lecteur 
trouvera là tout ce qui est nécessaire aux applications 
et au calcul numérique; la théorie est faite suivant 
l'usage maintenant établi, en partant des fonctions de 
Weierstrass {(u) et p{u), définies par des séries doubles ; 
elle est appliquée au calcul des intégrales elliptiques et 
aux questions habituelles de Géométrie et de Méca- 
nique : cubiques planes, polygones de Poncelet, pen- 
dule simple; toutes ces questions sont traitées avec 
autant d'élégance que de simplicité. 
La troisième partie traite des équations différen- 
tielles. Le premier chapitre est consacré à l'équation 
du premier ordre; après avoir défini l'intégrale géné- 
rale, l'intégale singulière, en avoir donné l'interpré- 
tation géométrique, et montré que l'intégrale singulière 
n'existe généralement pas, M. Humbert indique les cas 
usuels d'intégration : équations homogènes, linéaires, 
de Bernoulli, de Lagrange et Clairaut, propriétés des 
intégrales de l'équation de Riccati; il étudie le facteur 
intégrant, fait connaître quelques méthodes de trans- 
formation parfois avantageuses, el terminé par de 
nombreuses applications géométriques : problème des 
trajectoires, lignes de courbure des quadriques, asymp- 
totiques d’une surface réglée, systèmes conjugués, 
intégration algébrique de l'équation d'Euler. Les 
équations d'ordre supérieur au premier, qui sont 
immédiatement réductibles au premier ordre, donnent 
lieu à de nouvelles applications : courbe élastique, 
courbes de poursuite, lignes géodésiques d’une sur- 
face; à propos de ces dernières lignes, l'auteur insiste 
sur la forme réduite correspondante du ds de la 
surface considérée, et il s'en sert pour obtenir, par 
la transformation de Liouville, les lignes géodésiques 
de l'ellipsoïde préalablement rapporté à ses lignes de 
courbure: il en déduit aussi les propriétés les plus 
importantes des lignes géodésiques. Le chapitre suivant 
est consacré aux théorèmes généraux d'existence de 
l'intégrale d'un système simultané d'équations diffé- 
rentielles du premier ordre; après avoir établi à ce 
sujetle théorème général de Cauchy, l'auteur observe la 
mobilité habituelle des points critiques des intégrales; 
il précise ces points dans le cas spécial d’un système 
linéaire: puis il applique le théorème de Cauchy pour 
démontrer l'uniformité de la fonction inverse de l'inté- 
grale : 
ensuite, il étudie les propriétés classiques des équations 
et systèmes d'équations linéaires, ainsi que le cas 
usuel des coefficents constants et les cas qui S'y ramè- 
nent, et il termine par l'étude des intégrales d’une 
équation linéaire aux environs d'un point critique, en 
appliquant cette étude à la recherche des équations 
linéaires du second ordre dont l'intégrale cénérale est 
méromorphe dans tout le plan à distance finie, et en 
particulier est entière ou rationnelle : l'équation de 
Lamé lui fournit un exemple intéressant. Enfin, un 
dernier chapitre est consacré aux équations aux déri- 
vées partielles; après les généralités sur les éléments 
