106 Fortsetzung. 



tier Pimkt A nach einem Umgange von n Stossen zu seinem 



Ausgangspuukte zuriickkelireii. Es wird namlich ein regel- 



miissiges w-Eck entstelien mlissen, wobei jeder Ausseuwiukel 



d- 



— mid ihre Siimme = 4i? ist.' 1st 



2) -^— = A = — gleich eiuem rationalen Bruclie, so wird der 



Punkt A nach gUmlanfen, also in ^;g Stossen zu seinem Aus- 

 gangspunkte zuriickkeliren. Ist 



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3) —^ ^= A irrational, so wird der Punkt A erst nach unendlich" 



vielen Umlitufen zu seinem Ausgangspuukte zuriickkehren. 

 Handelt es sich nun um den ersten Fall, so wird man stets hei 



gegebenem Winkel — die Zahl n finden konnen, welclie angiebt, wie 



oft der Bewegungsvorgang sich wiederholen muss, bis ein Umlauf 



voUendet ist, namlich n = — ;r— und umgekehrt kann man immer den 



or 



Winkel — finden, wenn man n a priori kennt i). 



Gehen wir mit diesen Vorkenntnissen zu den Bewegungen des 

 Frosches iiber, so beobachtet man leicht, dass die Bahn, welche der 

 Fig- 23. springende Frosch beschreibt, etwa 



die in Fig. 23 ist: ah sei die Sprung- 

 weite, gemessen in der Horizontalen, 

 Ti acb die Sprungbahn rait ac als auf- 



steigendem und ch als absteigendem Theile. Man erkennt ohne Miihe, 

 dass diese Bahn nahezu zusammenfallt mit der des schiefen Wurfes, 

 d. h. also eine Parabel ist, deren Entstehung hier die gleiche ist wie 

 dort; denn auch hier wirkt ausser der Schwerkraft nur noch die durch 

 die Muskeln erzeugte Stosskraft, welche dem Frosche eine der Grosse 

 und Richtung nach bestimmte Anfangsgeschwindigkeit ertheilt. 



Legen wir durch die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit (siehe 

 Fig. 24) A Di eine Yerticalebene ADiD und eine zu derselben seuk- 



^) Es ist selbstvei-stiiudlicli , class zu denselben Eesultaten die Auschaiiuug des 

 in das Polygon eingeschriebenen Kreises fubi'eu muss , wobei ebeufalls die oben 

 augefiihrteu drei Falle zu unterschieden seiii werden. Vergl. Fig. 22. 



