117 



(Pf , 



, ,r immer dasselbe Zeichen behält. Um aber die vollständieren 



ily " 



Kriterien für das Maximum oder Minimum zu erhalten, miifs 

 man noch den allgemeinsten Ausdruck für eine Funktion f ken- 

 nen, welche der Differentialgleichung 



df' \dj^ "*" dx) - \dydy "♦■ 7 

 genügt. 



Setzt man w = «^-f-/3^, wo ^, -^ die partiellen Dif- 

 fercntialquotlenten von y nach den darin enthaltenen Constanten 

 «, h genommen und «, /3 neue willkührliclie Constanten bezeich- 

 nen, so ist 



v = — (-^-^ ^ — '^"\ 

 \dydy dy^ u dx) 



der verlangte vollständige Ausdruck für r, welcher die willkühr- 



liche Constante — enthält, 

 a 



Schwieriger ist die Untersuchung, wenn unter dem Integral- 

 zeichen die höhern Differentialquotienten vorkommen; doch läfst 

 sich die vollständige Theorie für alle Fälle aus den Eigenschaften 

 einer besondern Klasse linearer Differentialgleichungen ableiten. 



Was nun die aus dieser Theorie sich ergebenden Kriterien 

 für die Existenz eines Gröfsten oder Kleinsten betrifft, so sind 

 dieselben im höchsten Grade einfach. Man betrachte z. B. den 

 Fall, wo, wenn unter dem Integralzeichen y mit seinen Differen- 

 tialquotienten bis zum w'""" vorkommt, die Grenzen des Integrals, 

 80 wie die Werthe von /, j'', /*"~" an diesen Grenzen gege- 

 ben sind. Setzt man in die 2n Integralgleichungen mit ihren 2n 

 wlUkiihrlichen Constanten diese Grenzwerthe, so werden die Con- 

 stanten bestimmt; aber well hierbei die Auflösung von Gleichun- 

 gen nöthig Ist, gicbt es in der Regel mehrere Arten dieser Be- 

 stimmung, so dafs man mehrere Curven erhält, welche denselben 

 Grenzbedingungen und derselben Differentialgleichung Genüge 

 leisten. Hat man eine von diesen gewählt, so betrachte man den 

 einen Grenzpunkt als fest, und gehe von ihm zu den folgenden 

 Punkten auf der Curve über. Nimmt man einen dieser folgen- 

 den Punkte zum andern Grenzpunkte, so wird es nach dem eben 

 Gesagten sich ereignen können, dafs man durch ihn und den er- 

 sten noch andere Curven legen kann, für welche in diesen bei- 



