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nen Enhvickelung des Zeichens \a: -^a : -'^ a 



werden unmittel- 

 bar, ohne alle weitere geometrische Constructionen, zum Theil 

 nur mit Anwendung einiger allgemeiner krystallographischer Lehr- 

 satze über das Quadratoctaeder und das Rhomboeder, die einfach- 

 sten Formein abgeleitet nicht allein für die verschiedenen Neigun- 

 gen einer gegebenen Flache gegen die 3 unter sich rechtwink- 

 llchen Grunddimensionen, gegen die 6 mittleren zwischen je zwei 

 der vorigen, gegen die 4 mittleren zwischen je drei derselben, 

 gegen die 12 mittleren zwischen je zweien der zweiten, und zwi- 

 schen je einer der ersten und einer der dritten Kategorie, und 

 mithin gegen die sämtlichen Würfel-, Octaeder-, Granatoi?der- 

 und Leucitoederflächen , nicht minder für die Neigungen der 

 dreierlei Kanten des Körpers gegen die genannten verschiedenen 

 Axen, und für die 23 zu unterscheidenden Neigungen einer ge- 

 gebenen Fläche gegen die sämtlichen ihr gleichartigen, deren je 

 zwei parallel, folglich 24 von verschiedenen Richtungen zu un- 

 terscheiden sind; sondern auch die höchst einfachen Formeln für 

 den allgemeinen trigonometrischen Werth, welcher einer gegebenen 

 Fläche in jeder der mancherlei Zonen zukommt, welche das Zei- 

 chen als Eigenschaft der Fläche auffinden lehrt, so wie die eben 

 so einfachen und allgemeinen Formeln für die Bedingung, unter 

 welcher eine gegebene Fläche in die einen oder die anderen Zo- 

 nen fällt oder nicht fällt. Abgeleitet werden ferner die allge- 

 meinen Ausdrücke der dreierlei Kanten des Sechsmalachtflächners 

 selbst, die Formeln für seine ebnen Winkel, und für die ebnen 

 Winkel sämtlicher, nicht blos halblrender, Queerschnllte auf den 

 verschiedenen Axen, parallel den Würfel-, Octaeder- und Gra- 

 natocderflächen; die hauptsächlichsten Beziehungen jedes gegebe- 

 nen Sechsmalachtflächners auf die dreierlei Geschlechter von ho- 

 moedrisch gebildeten Körpern mit 24 Flächen, die Pyramiden- 

 würfel, die Pyramidenoctaeder und die LeucItoide. Beiläufig 

 wird die Unterscheidbarkeit sämtlicher 48 gleichartiger Flächen 

 im Zeichen selbst, und ihre Comblnatlon zu den dreierlei Hälft- 

 flächnern erörtert, den Hexakistctracdern, den gebrochenen Pyri- 

 toiden, und den Granatdyoedern, deren hervortretende Neigungs- 

 verhältnisse im vorherigen schon nachgewiesen sind. 



Neben den speclell krystallographischen Resultaten ergaben 

 sich mehrere merkwürdige allgemein geometrische Lehrsätze, z. B.: 



