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unendlich viel Primzalilen enthält. Es sei 7 irgend eine von p 

 verschiedene Primzahl, deren Index \x helfse, so dafs also a" ^ 9 

 (mod//), es sei ferner w eine Wurzel der Gleichung 



(1) («'•-' — 1=0, 



und man bilde die geometrische Reihe 



= 1- 



,,2m. 



n' 7 



in welcher s positiv und > 1 ist. Multlplicirt man die ähnlichen 

 Gleichungen, vv'elche allen v, d. h. allen Primzahlen, mit Ausnahme 

 der einzigen p entsprechen, in einander, nimmt dann die natürlichen 

 Logarithmen von Leiden Selten und entwickelt endlich die Loga- 

 rithmen auf der ersten Seite nach Potenzen von oü, indem man 

 nach (1) die Vielfachen von p — t in den Exponenten dieser Po- 

 tenzen überall wegläfst, so kommt 



wo L die unendliche Reihe 



"^^^7 '-TTT -+- /— I— V-'«-' ^ 7 ^ ^f^"')» 



C„ die Summe der zur Potenz — s erhobenen Primzahlen 

 der Form np -t- a„ bezeichnet, und auch das Bildungsgesetz 

 von H„ leicht zu erkennen ist. Diese Gleichung gilt für alle 

 Wurzeln der Gleichung (1), welche Wurzeln bekanntlich, wenn 

 w gehörig gewählt ist, durch l, w, w'^, • • • ou'""'' dargestellt 

 werden können, und repräsentirt also p — 1 besondere, diesen 

 Wurzeln entsprechende Gleichungen. Entwickelt man G„ ■+• JI„ 

 aus diesen Gleichungen, so erhält man 



g.+ä;. = 



p-i 



(logZo+uj—logZ, + w-«"'logZ2 -»-... +oü-</'-2>'" log /;^_,), 



wo Xoi -^1» • • • Zp_g die den Wurzeln 1, w, ••• üh''~' ent- 

 sprechenden Werthe von L bezeichnen. 



Läfst man jetzt s abnehmen und sich der Einheit ins Un- 

 endliche nähern, so wächst Lg und also auch log Zq über alle 

 Grenzen, während sich Z,, Zj, •••• Z^_2 endlichen Grenzen 

 nähern. Es werden also auch logZ,, logZg, • • • logZ^_g riir.r = 1 



