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Ist .»• eine Wurzel der Gleichung ^ 0, wo p eine Prim- 

 zahl Ist, und s eine primitive Wurzel von /?, und setzt man 



^^ — 1 ( 



WO « irgend eine Wurzel der Gleichung = bedeutet, 



so hat man 



F(«)-F («-') = « " •^• 

 Setzt man 



F(^a^) F(cc") = v|/ (a) F(a"'+"), 



so wird 4^ (et) ein Ausdruck, der Llofs die Potenzen von « in 

 ganze Zahlen multipllclrt enthält; es ist ferner 



4^(cc)4^(a-')=p(*). 



Bedeutet r eine primitive Wurzel der Gleichung r''~* ^ i, und 

 setzt man in die Function 





für r die Zahl g^, so wird, wenn m und n positive Zahlen be- 

 deuten, die kleiner als p — 1 sind, 



I / \ — n(w-i-«) , , V 



wo n« = 1 • 2 • 3 • • • n; wenn also rn-i-n >/;— 1, wird ^^(g) = 

 (mod. p), welches letzlere sich In den Anwendungen als einen der 

 wichtigsten Sätze der Zahlentheorie erweist; der Fall m-i-n =p — 1 

 wird hier ausgenommen. Diese Sätze habe ich vor mehr als 10 

 Jahren Gauss mitgetheilt. Ich bemerke noch, dafs wenn 2 = §•"", 

 3 s g^'(mod. /?), man die beiden merkwürdigen Formeln hat: 



F{-\) F(u^) = «-"■ F(«) -F(-«), 

 F(«) F(ya) F(y' «) = u-'-'p F(cc'), 



in welcher letztern 7 eine Imaginäre Kubikwurzel der Einheit ist. 

 Ist X ein ungerader Factor von p — 1, so kann man durch die erste 

 der beiden Formeln die Functionen F(ce), In welchen « eine 2?," 



(*) Die Falle, wo «"', ci" oder «'"''"" der Einheil gleich sind, werden hier 



