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p + ^ bip—i) 



durch p diviMirt läfst, welcher absolut kleinste Rest immer positiv 

 oder negativ ist, je nachdem er, abgesehen vom Zeichen, die Form 

 '^ll-\-^ oder 4«-+-l bat. Die Functionen F(c{), welche man nur 

 bestimmt hatte, wenn « eine quadratische, kubische, biquadralische 

 Wurzel der Einheit ist, sind durch die obigen Formeln nun auch 

 bestimmt, wenn « eine 6", 8'*, 12"^ Wurzel der Einheit ist; man 

 kann also a priori die Wurzeln der Gleichungen vom 6"^", 8'"^°, 

 12""° Grade, die in der Kreistheilung vorkommen, vollständig auf- 

 lösen, und braucht hierzu nur die Zerfällung von p in die drei 

 Formen xx -i-jj, xx •+- 2jf, xx -f- ijy. Für die Primzahlen bis 

 12000 habe ich diese Zerfällungen meiner Arbeit beigefügt. Eine 

 allgemeine Formel von grofscr Wichtigkeit auch in der Anwen- 

 dung der Kreistheilung auf die Theorie der quadratischen Formen 

 ist folgende. Es sei p von der Form An-+-1, ß eine primitive 

 /.'« Wurzel der Einheit, et irgend eine Wurzel der Gleichung 

 «''"' = 1, es sei ferner A E §■"' (mod. ;»), so wird, wenn X un- 

 gerade ist: 



F(«) F{ßa) F(ß^ «) • • • F(ß'-' «) = «""" -F(«') • P' 



wenn X gerade ist: 



F(«) F(/3«) F(ß^ «) • • • i'X/G'-* «) 



X — 1 



= (-1) —8 ;.— F(-l) F(«^) (*), 



wo, wie immer, 



1/ ?^^^ 



F(-i) = y(-,)—p 



ist. Wenn die Functionen \^ im Zusammenhange mit den Bino- 

 mialcoefficlenten oder den Eulerschen Integralen 1"" Gattung 

 stehen, wie die Congruenz 



(*) üitser Sati ist einem Gautsiirben in srincu Disquisittones oirca ser. inßn. aiialo;, 

 von dem Diricblcl oeiterdings einen merlvtiirdigcn Beweis gegeben bat. 



