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zeigt, so scheint die Vergleicliung mit der Formni 



darauf hinzudeuten, dafs zwischen den Functionen F und den 

 Eulerschen Integralen 2'" Galtung eine ähnliche Beziehung statt- 

 finden mufs. In der Art, dafs — -^j— der Function F(r~") ent- 

 spricht. Aber ich habe seit lange diese Beziehung vergeblich ge- 

 sucht, bis sie sich endlich in folgendem Satze fand. In dem Aus- 

 drucke für F(cc) selze man für g" den Ihr in Bezug auf /j con- 

 gruenten kleinsten positiven Rest g-„, so dafs 



F(«) = x + cix^i-i-cc'' x^2 • . • -f- «/"-^ rif/'-Z, 



es sei ferner .»; nicht Wurzel der Einheit, sondern eine unbe- 

 stimmte Variable; setzt man :«; := l-f-/, und bezeichnet mit F. die 

 Entwickelung von |log(l-|-/)|", wenn man die höhern Potenzen 

 als /'"' fort wirft; setzt man ferner In F(.r, «) = jF(i-t-j, «) für 

 n eine Zahl ^ffp_f_^ (mod. /s), so wird, wenn man die durch p 



Y 

 thcilbaren Coefficienten fortwirft: F(a) ~ ==^ (mod. p). Dies 



ist die gesuchte Beziehung, aus welcher sich die zwischen dtn. 

 Functionen \i/ und den Biuomialcoefficlentcn sogleich ableiten läfst. 

 Ich bemerke bei dieser Gelegenheit noch den Satz, dafs in der 

 Entwicklung irgend einer geraden 2m"" Potenz von log(l-i-j'), 

 wenn />>-2m-|-l und eine Primzahl ist, der Coefficient von /'' 

 immer durch p aufgeht. 



Die bisher noch nirgends angegebene wahre Form der Wur- 

 zeln der Gleichung .«^ = l ist folgende. Man kann diese Wur- 

 zeln leicht durch blofse Addition, wie bekannt, aus den Functio- 

 nen F(rt) zusammensetzen. Ist X Factor von p — l und «' == f, 

 so ist bekanntlich ^/'X^O}'^ eine blof»e Function von et. Man 

 braucht aber nur die Werthe von F{a) zu kennen, für welche 

 X Potenz einer Primzahl Ist. Es sei nändich ?.>.'>,"••• Factor 

 von p — 1; X, ä', X" • • • Potenzen verschiedener Primzahlen; 

 a, «', «"••. primitive X'% X", X"" • • • Wurzeln der Einheit, 

 80 ist 



/•'(a) /-(«') F(a") . . . 



F{ci«.' a" ' • •) = 



4) (a al u" • • •) 



