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giebt. Nach diesen einfachen Regeln hat jelzt einer unsrcr Stu- 

 denten als Preisaufgabe alle Gleichungen .i^ == 1 für die Prim- 

 zahlen ft bis lO.i vollständig aufgelöst (*). 



Einer der für die Zahlentheorie fruchtbarsten Sätze ist fol- 

 gender: es seien m, m, /«"••• positiv und kleiner als p — l; es 

 werden durch m,, wi' , /«"••• die kleinsten positiven Reste be- 

 zeichnet, welche im, im, im" • • • durch p — 1 dividirt ergeben; 



es sei 



m i -Y- m j -\- m , -\- • • • = n,(jj — l) -f- j,, 



wo j, ebenfalls positiv und kleiner als p — 1; nennt man v die 

 kleinste unter den Zahlen /i,, n^ • • • n^_, und setzt 



F{r-) F(r--') F{r-") . . • = y^r) I'\r- ), 



so werden alle ganze Zahlen in 7^(r) durch/?" theiibar, und durch 

 keine höhere Potenz von f>\ setzt man %(,'')== p" %(r) und in 

 %{r) für r die Zahl g^ so wird 



Die Anwendung dieses Satzes giebt ganz eigenthümliche Theo- 

 reme, von denen ich vor einer Reihe von Jahren ein Speciinen 

 im Crellschen Journal niitgelhellt habe, die Zahl der reducirten 

 quadratischen Formen der Theiler von yy-\-pzz^ wenn p eine 

 Primzahl von der Form in-t-S ist, betreffend (**). Wenn ich 

 diesen Theoremen die Allgemeinheit gegeben haben werde, deren 

 sie fähig scheinen, werde ich mir die Ehre geben, sie ebenfalls 



.der Akademie vorzulegen. Sie bilden gewissermaafsen ein Ver- 

 bindungsglied zwischen den beiden Hauptthellen der höheren 



.Arithmetik, der Krelstheilung und der Theorie der quadratischen 

 Formen. Die hauptsächlichste Anwendung der Krelstheilung habe 

 ich auf die Theorie der kubischen und biquadratischeu Reste ge- 



(*) Bei dirwr Cclrgenlicit bat lUrirlbe .Im mrrlmärdigni Satx bcnieico, lUfi wmn a die 

 Sie, y die ilr Wunrl Art Eiobeit, p too der Form 30n-l-t , 24 HT^ (mod. />) i<t, immer 



JP(rt)J'(-^) = a» • — ^^ -II P(_oy) wird, wo ^ = - 2, jB = (mod. 5), AA-^lBB = \p. 



(**) Für die Priraiableo non der Form 4n-»-l 6ndet ein gaoi analoper Sali Statt ; die Zahl 

 fcr q, R. iwiichrn imd —p giebt hier die 7.aU der Formen. 



