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S.Februar. Gesammtsitznng der Akademie. 



Ilr. Lejeune-Dirlchlet las eine Abhandlung über die 

 Bestimmung assymptotischer Gesetze in der Zahlen- 

 theorie. 



Es ist eine bekannte analytische Erscheinung, dafs Funktio- 

 nen, deren Form um so zusammengesetzter wird, je gröfser die 

 Werthe sind, welche die unabhängige Veränderliche erhält, in 

 vielen Fällen ungeachtet dieser scheinbar unaufhörlich steigenden 

 Complication mit stets wachsender Regelmäfsigkelt sich ändern, 

 so dafs es einen einfachen Ausdruck giebt, der sich einer solchen 

 Funktion Immer inniger anschliefst und ihren Gang ungefähr so 

 bezeichnet wie eine Curve den Lauf einer andern darstellt, deren 

 Assymptote sie Ist. Man kann auf die Analogie mit der Geome- 

 trie gestützt, eine solche einfache leicht zu übersehende Funktion 

 das assymptotische Gesetz der compllclrtern nennen, nur mufs 

 man das Wort „assymptotlsch" Im allgemeinern Sinne nehmen 

 und auf den Quotienten beider beziehen, welcher als der Ein- 

 heit unaufhörlich sich nähernd anzusehen Ist, während ihre Dif- 

 ferenz nicht nothwendig ins Unendliche abnimmt. Das älteste 

 Beispiel eines solchen assymptotischen Gesetzes bietet der merk- 



würdige Ausdruck —,-^^= dar, welchen Stirling zur genäherten 



Bestimmung des mittleren Binomialcoenicienten einer sehr hohen 

 geraden Potenz aus dem früher von Wallis gefundenen unendli- 

 chen Produkt für t7 abgeleitet iiat. Spätere Untersuchungen ha- 

 ben eine Menge ähnlicher Resultate ergeben, die besonders für 

 die Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr wichtig geworden sind. Die 

 Existenz assymptotischer Gesetze Ist nicht auf analytische Funk- 

 tionen beschränkt, sondern kann auch noch Statt finden, wo ein 

 analytischer Ausdruck ganz fehlt, wie dies gewöhnlich bei den 

 Funktionen der Fall Ist, welche sich auf Eigenschaften der Zah- 

 len beziehen. So hat namentlich Legendre durch Induktion eine 

 sehr merkwürdige Formel gefunden, welche auf eine sehr genä- 

 herte Weise die Anzahl der Primzahlen ausdrückt, die eine ge- 

 gebene Grenze nicht übersteigen. Die Disijuisitiones arithmetkae 

 enthalten ebenfalls mehrere höchst Interessante Ausdrücke ähnli- 

 cher Art, welche der Theorie der quadratischen Formen angehö- 

 reu und die mittlere Anzahl der Klassen und Ordnungen solcher 



