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Formen Jn Funktion der Determinante darstellen. Für diese 

 Ausdrücke ist aber bisher eben so wenig als für die Legendre- 

 sche Formel ein lieweis bekannt geworden. Die der Akademie 

 vorgelegte Abhandlung hat den Zweck, mehrere Methoden zu 

 entwickeln, welche bei Untersuchungen dieser Art in vielen Fäl- 

 len mit Erfolg benutzt werden können und deren Anwendung 

 aufser verschiedenen andern Resultaten auch die Legendresche 

 Formel und einige der von Gaufs mitgethelllen ergiebt. Wir 

 müssen uns in diesem Auszuge darauf beschränken, von einer die- 

 ser Methoden ein Beispiel an einem Problem zu zeigen, welches 

 bisher nicht behandelt worden Ist und sich auf die Theorie der 

 Theiler bezieht. Bezeichnet &„ die Anzahl der Divisoren von n 

 (1 und n selbst mitgerechnet), so ist &„ eine sehr unregelmlifsig 

 fortschreitende Funktion von n, die obgleich im Ganzen mit n 

 über alle Grenzen hinaus wachsend dennoch unendlich oft sehr 

 kleine Werthe wie 2, 3, •• annimmt. Betrachtet man aber statt 

 dieser Funktion Ihren mittleren Werth, diesen Ausdruck in dem 

 Sinne genommen, wie derselbe in den Dis(f. ariih. pag. 515 defi- 

 nlrt ist, so verschwindet die Unregelmäfsigkeit und dieser mitt- 

 lere Werth wird eines assymptotlschen Gesetzes fähig. Zur Be- 

 stimmung desselben betrachte man die unendliche Reihe 



welche, wie schon Lambert bemerkt hat, auch in folgender Forin 

 dargestellt werden kann 



... =/(.) 



1-? 1-?' 1-r 



Die Summe dieser Reihe bleibt endlich, so lange ^ ein ächter 

 Bruch ist, und wächst über jede Grenze hinaus, während sich ^ 

 (welches als positiv betrachtet wird) der Einheit nähert. Setzt 

 man o=:e~", und drückt die Reihe durch ein bestimmtes In- 

 tegral aus, so findet man leicht, dafs dieselbe für unendlich kleine 

 positive Werthe von « durch den einfachen Ausdruck 



1 , / 1 \ C 



« \ « / « 



dargestellt wird, in welchem C die bekannte Eulersche Constante 



