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Schwerpunkt" der Curve genannt. Von ihm hängt gewlsser- 

 mafsen die Bestimmung des Inhaltes der irgend einem anderen 

 Punkte in Rücksicht der einen oder anderen Aufgabe entspre- 

 chenden Curve ab. Nämlich es findet das einfache Gesetz statt: 

 dafs Punkten, welche gleich weit vom Krümmungs- Schwerpunkte 

 entfernt sind, Curven von gleichem Inhalte entsprechen, und auch 

 umgekehrt; und dafs ferner die Zunahme des Inhaltes sich un- 

 mittelbar durch die genannte Entfernung ausdrücken läfst. 



Wenn in Betracht der ersten Aufgabe die gegebene Curve, 

 statt auf einer Geraden, auf einer festen Curve rollt, so ist zwar 

 derjenige Punkt, welcher die Curve vom kleinsten Inhalte be- 

 schreibt, im Allgemeinen von dem vorigen, dem Krümmungs- 

 Schwerpunkte verschieden, indessen ist doch seine Bestimmung 

 der des letzteren ganz analog, und ebenso ist auch von ihm der 

 Inhalt der von irgend einem anderen Punkte beschriebenen Curve 

 abhängig. 



Die einzige Schwierigkeit, welche bei diesem Gegenstande 

 anfangs obwaltete, lag im Auffinden der eben angedeuteten Re- 

 sultate. Sind diese einmal bekannt, so lassen sie sich auf ver- 

 schiedene Arten leicht beweisen. Hier geschieht es auf elemen- 

 tarem Wege, durch einfache geometrische Betrachtungen, gestützt 

 auf die Eigenschaften des Punktes der mittleren Entfernung oder 

 des Schwerpunktes. Man gelangt dabei zugleich zur Quadratur 

 vieler verschiedener Curven, zu welchen namentlich, als die be- 

 kanntesten, die gewöhnlichen Cykloiden, die Epi- und Hypocy- 

 kloiden, der Raum zwischen sogenannten parallelen Curven, etc. 

 gehören. 



Nach Hrn. S t's. beiläufiger Bemerkung steht der gegenwär- 

 tigen Untersuchung eine andere zur Seite, welche zwei entspre- 

 chende Aufgaben nebst dem, was unmittelbar damit zusammen- 

 hängt, zum Gegenstande hat; es sind folgende Aufgaben: 



„Wenn eine gegebene Curve auf einer festen 

 Geraden rollt, denjenigen mit ihr fest verbundenen 

 Punkt zu bestimmen, welcher die kürzeste Curve 

 beschreibt." Und: 



„In der Ebene einer gegebenen Curve denjeni- 

 gen Punkt zu bestimmen, dessen Fufspunkte-Curve 

 in Bezug auf dieselbe, die kürzeste ist." 



