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nur darauf bescbränkt hat, dieselbe in der Anwendung auf be- 

 sondere Fälle zu zeigen, so läfst sich auch über die Prämis- 

 sen, derselben zu Grunde gelegt, schwerlich mit Sicherheit 

 entscheiden. Selbst die Ansicht Mon tucla's, dafs Fermat's 

 Methode auf dem, bereits von Kepler in dessen Stereometria 

 doliorum ausgesprochenen, Satz beruhe, nach welchem die Zu-, 

 oder die Abnahme einer veränderlichen Gröfse, z. B. der Ordi- 

 nate einer Linie, wenn diese ein Maximum, oder ein Minimum 

 erreicht hat, in einer, diesem unendlich nahen Lage Null sei, 

 wird zweifelhaft, sobald man erwägt, dafs dieser Satz selbst nur 

 bedingungsweise richtig ist, und die Regel Fermat's, sobald 

 nur die Bedingungen gehörig gestellt werden, auch aus andern 

 Sätzen abgeleitet werden kann. Auch ist die öfters ausgespro- 

 chene Behauptung, dafs diese Methode nur auf ganze Funktionen 

 anwendbar sei, unrichtig. Was die Sphäre ihrer Gültigkeit be- 

 trifft, so setzt sie die Funktion als explicit gegeben voraus, und 

 führt zu einer Bedingung, welche für jede rationale Funktion 

 zwar nolhwendig, indefs nicht hinreichend ist. 



Der zweite Schritt zur Lösung des in Rede stehenden Fal- 

 les unserer Aufgabe geschah von Cartesius. Die Voraussetzung, 

 von welcher Cartesius ausging, bestand darin, dafs die Funktion 

 y, deren Maximum, oder Minimum bestimmt werden soll, durch 

 einen, mit Null verglichenen rationalen Ausdruck von ;*; und y 

 gegeben sei. Und dies angenommen, zeigte Cartesius, dafs, 

 wenn man sich für y in einer solchen Gleichung einen ihrer 

 gröfsten, oder ihrer kleinsten Werthe substituirt denkt, die in x 

 entstehende Gleichung zwei einander gleiche Wurzeln gestatten 

 mufs. Um also eine Gleichung zu gewinnen, durch welche der 

 besondere Werth von x, einem Maximo, oder einem Minimo von 

 y entsprechend, bestimmt werde, war es hinreichend, aus der 

 zwischen x und y gegebenen Gleichung selbst mittelst Substitution 

 eines besondern Werthes für j, eine zweite in x mit zwei glei- 

 chen Wurzeln abzuleiten: eine Aufgabe, die Cartesius ebenfalls 

 zur Lösung brachte. Da sich jede algebraische Funktion durch 

 einen mit Null verglichenen, rationalen Ausdruck von x und / 

 bestimmen läfst; so folgt, dafs die Methode von Cartesius, was 

 die Nothwendigkelt der betreffenden Bedingung anbelangt, für 

 alle algebraischen, sowohl Irrationalen, als ratioaalen, Funktionen 



