149 



iiir alle diejenigen Funktionen zu einer nolhwendigen Bedingung 

 führen, deren Fluxionen oder Differenziale contlnuirlich Lleibcn; 

 wenn gleich, von einer andern Seite betrachtet, nicht geläugnet 

 werden kann, dafs sie bereits für irrationale Funktionen aufhö- 

 ren, dieser Anforderung zu entsprechen. Es war L'Hopital, 

 der das Mangelhafte dieser Methode erkannte und zu ergänzen 

 sich bestrebte. Die Sätze, welche seinen Betrachtungen zur 

 Grundlage dienen, sind die beiden folgenden: 



1) Das Differenzial einer continuirlichen Funktion mufs für den- 

 jenigen besondern Werth der ursprünglichen Veränderlichen, 

 für welchen der entsprechende besondere Werth der Funktion 

 ein Maximum, oder ein Minimum bildet, entweder vom Po- 

 sitiven ins Negative, oder vom Negativen ins Positive über- 

 gehen. 



2) Jede contlnuirlich zu-, oder abnehmende Funktion kann nicht 

 vom Positiven ins Negative übergehen, ohne Null, oder un- 

 endlich zu werden: Null namentlich, wenn sie Anfangs ab- 

 nehmend, unendlich aber, wenn sie Anfangs zunehmend fort- 

 geht. 



Der Satz nun, welchen L'Hopital als eine nothwendige 

 Folge der beiden vorhergehenden aufstellte, lautet: 



Für den Fall, wo der besondere Werth einer Funktion ein 

 Maximum, oder ein Minimum bildet, mufs der besondere Werth 

 des Dlfferenzlals derselben entweder Null, oder unendlich sein. 



Gegen den ersten dieser Sätze fällt nichts einzuwenden. 

 Was aber den zweiten betrifft, so wurde von L'Hopital selbst 

 eingeräumt, dafs derselbe bezweifelt werden könne, und der Ver- 

 such gemacht, ihn durch eine Construction zu verdeutlichen. 

 Es ist aber leicht einzusehen, dafs sich durch die Nachweisung 

 einzelner entsprechender geometrischer Fälle wohl die Möglich- 

 keit, kelnesweges aber die Nothwendigkelt des Satzes (die auch 

 nicht stattfindet), darthun läfst. 



Was endlich den Schlufs-Satz anbelangt, so darf nicht un- 

 bemerkt gelassen werden, dafs derselbe hier nur in so fern als 

 vollständig vermittelt angesehen werden kann, als zugleich der 

 Satz feststeht, dafs das Differenzial einer continuirlichen Funktion 

 contlnuirlich entweder zu-, oder abnehmend sei: was aber kei- 

 nesweges der Fall ist. 



