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lorschen Reilie sind in zwei verschiedenen Formen bekannt. Die 

 gegenwärtigen Bemerkungen haben insbesondere die Mittel der 

 Schätzung der Convergenz der allgemeineren Differenzen-Reihe 

 zum Gegenstande. 



Zuerst wird, um die Aufgabe übersichtlich vor Augen zu 

 haben, die Entwicklung der Differenzen - Reihe selbst gegeben, 

 die höchst einfach und kurz ist und durch welche man die Reihe 

 in der höchsten Allgemeinheit erhält, ohne irgend etwas, selbst 

 nicht die Form der Reihe, vorauszusetzen. Auf analoge Weise 

 wird die Taylorsche Reihe, mit Differentialen statt Differenzen, 

 anstatt sie aus der allgemeineren Reihe als besonderen Fall abzu- 

 leiten , was in der That nur bedingungsweise geschehen darf, 

 für sich aufgestellt und es ergeben sich dabei die Bedingungen, 

 unter welchen der besondere Fall Statt findet. 



Zur Schätzung des Betrages des Restes der allgemeinen 

 Reihe, oder der Summe der Glieder, welche, wenn man nach 

 der Reihe rechnet, wegbleiben, welcher Betrag über die Con- 

 vergenz der Reihe entscheidet, bietet sich die erste D ifferenz 

 des unbekannten Restes dar, die sich allgemein durch das erste 

 Glied des Restes ausdrücken läfst. 



Aus dieser ersten Differenz des Restes ergeben sich Aus- 

 drücke für die Grenzen, innerhalb welcher der Rest liegen mufs, 

 und zwar nicht blofs in zwei verschiedenen Formen, wie sie 

 für die eigentliche Taylorsche Reihe aufgestellt zu werden pfle- 

 gen, sondern in drei verschiedenen Formen, und diese drei statt 

 zwei Formen finden dann, da von der Differenzen -Reihe die 

 eigentliche Taylorsche Reihe nur ein besonderer Fall ist, auch 

 für die letztere Statt. 



Die Grenzen - Ausdrücke für die allgemeinere Reihe werden 

 in der Voraussetzung gefunden, dafs « in y. aufgeht. Es wird 

 aber im weiteren Verlaufe der Untersuchung nachgewiesen, dafs 

 diese Voraussetzung sogar Bedingung ist und dafs die Aus- 

 drücke ohne dafs nicht aus den Ausdrücken der ersten Diffe- 

 renz des Restes mit Nothwendigkelt folgen, sondern dafs man 

 sie, wenn « in y. nicht aufgeht, nur aus dem ersten Differen- 

 tial-CoefficIenten des unbekannten Restes würde hernehmen kön- 

 nen, dessen Entwicklung aber beschwerlich ist und der kein ein- 

 faches Kennzeichen der Convergenz geben dürfte. 



