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Note von der geodätischen Linie auf einem El- 

 lipsoid lind den verschiedenen Anwendungen einer 

 merkwürdigen analytischen Substitution. 



Da die Erdoberfläche nicht die Form einer Umdrehungsfläche 

 besitzt, so hat man öfter versucht, den an einem Punkt derselben 

 ausgeführten Triangulirungen ein osculirendes EUipsoid mit 3 un- 

 gleichen Hauptachsen anzuschliefsen. Dies erhöht das Interesse 

 der Aufgabe, die geodätische Linie auf einem solchen EUipsoid 

 zu suchen, eine Aufgabe, die von den gröfstcn analytischen Schwie- 

 rigkeiten umringt zu sein scheint. In der That erscheint die Dif- 

 ferentialgleichung 2'" Ordnung, von welcher das Problem abhängt, 

 wenn man die gewöhnlich üblichen Variabein wählt, in einer so 

 complicirten Form, dafs man leicht von jeder Behandlung dersel- 

 ben abgeschreckt wird. Nach mehreren vergeblichen Versuchen 

 ist es mir jedoch durch Anwendung besonderer Hülfsmittel gelun- 

 gen, diese Gleichung vollständig zu Integrlren, d. h. auf Quadra- 

 turen zurückzuführen, wie ich der Pariser Akademie der Wissen- 

 schaften unter dem 28. December des vorigen Jahres mitgetheilt 

 habe. Ich will jetzt die Form des Resultates näher auseinander- 

 setzen. Es sei die Gleichung des Ellipsoids, 



IL 

 b 



= i. 



und a die kleinste, b die mittlere, c die gröfste der 3 Constan- 

 ten n, b, c. Da man die 3 Coordlnaten des Punktes einer ge- 

 gebenen Oberfläche durch 2 Gröfsen ausdrücken kann, so wähle 

 ich hierzu die Winkel cp und 4^, welche die Coordlnaten durch 

 die Formeln bestimmen, 



X = y — ^ — sin cp y (b cos '^ 4^ + c sin '^4' — ^) 



y = \/b COS (p sin 4^ 



z = 1/ COS 4^ Vc — a cos'^(p — b sin ^cp- 



t c — a 



Die geodätische Linie auf dem gegebenen EUipsoid wird dann 

 durch eine Gleichung zwischen den beiden Winkeln (p und 4^ 

 bestimmt. 



