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V{a cos ^ip + b sin '^f) ä(f> 



" J V{c-acos''ip-bsm''<f>)V({b-a)cos''<p-ß) 

 V{b cos '■v// + c sin ^■^) d^ 



J Vi 



{b cos '•v|/ + csia '^■^ — a) y({c — b) sin'-i//+i3) 



Die Form dieser Gleichung ist, wie man sieht, sehr einfach. 

 Eine Functiou des Winkels (p wird einer Function des Winkels 

 \^ gleich; die Functionen selbst sind Abelsche Integrale und zwar 

 von der Form, welche zunächst auf die elliptischen folgt. Die 

 beiden Abelschen Integrale sind, wenn sie auch hier in der tri- 

 gonometrischen Form verschieden scheinen, doch im Wesen die- 

 selben, so dafs man beide durch einfache Substitutionen In Inte- 

 grale von derselben Form verwandeln kann, in denen die Werthe, 

 welche die Variable anzunehmen hat, sich nur In verschiedenen 

 Intervallen bewegen. Die Gröfsen « und ß sind die beiden wlll- 

 kührlichen Constanten, welche das vollständige Integral der Dif- 

 ferentialgleichung 2'" Ordnung enthalten mufs. Die Constante 

 « wird 0, wenn man die Integrale von denjenigen Werthen von 

 (p und 4^ beginnen läfst, welche dem Punkte des Ellipsolds ent- 

 sprechen, von dem aus man die geodätische Linie zieht. Die 

 andere willkührllche Constante ß kommt nur in einem der 3 un- 

 ter dem Integralzeichen als Factoren befindlichen Radicalen vor; 

 sie wird auf algebraischem Wege durch die anfängliche Richtung 

 bestimmt, die man der geodätischen Linie glebt. Man erhält ganz 

 ähnliche Ausdrücke für die Rectificatlon der geodätischen Linie. 

 Für das Umdrehungsellipsold verwandelt sich das eine der beiden 

 Abelschen Integrale in einen Kreisbogen, das andre In ein ellip- 

 tisches Integral der 3*" Gattung, wodurch man die für das Um- 

 drehungsellipsold bekannte Gleichung der geodätischen Linie 

 erhält. 



Die hier angewandte Art die 3 Coordlnaten des Punktes 

 eines Ellipsolds durch 2 Winkel cp und v// auszudrücken, ist die- 

 selbe, auf welche man geführt wird, wenn man den Punkt des 

 Ellipsolds als Intersectlon der beiden Krümmungslinien bestimmt, 

 auf welchen er Hegt, oder was nach der schönen Bemerkung von 

 Karl Dupin dasselbe Ist, wenn man Ihn als Intersection des 

 Ellipsolds mit den beiden durch ihn gehenden Hyperboloiden be- 

 trachtet, deren Hauptschnitte mit denen des Ellipsolds die Brenn- 



