65 



in zwei Factoren 



Pdt + (Q-i-yR)du und Pdt-i-(Q — yR)du 



zu zerfallen. De Lösung des Problems hängt dann nach der von 

 Gauss gegebenen Theorie von der Integration der Gleichung, 



o = Pdi-^(Q-h ■\/R)du 



ab, in welcher P, Q, R gegebene Functionen von t und m sind. 

 Für Rotationsflächen läfst sich diese Gleichung immer integriren 

 und man kommt dann auf die von Lagrange gegebenen For- 

 meln. Ich bemerke noch, was man leicht sieht, dafs dasselbe all- 

 gemein für conische und cylindrische Flächen der Fall ist. Wenn 

 man daher auch alle speclellen Flächen zweiter Ordnung leicht 

 behandelt, so bietet doch die Aufgabe für die allgemeine Fläche 

 2'" O. bei der gewöhnlichen Wahl der Variabein unüberstelg- 

 llche Hindernisse wegen der ungemein compllclrten Form der zu 

 integrirenden Differentialgleichung. Nimmt man aber den Aus- 

 druck des Elements einer auf einem EUIpsoId befindlichen Curve, 

 welchen ich im 8"° Bande des Cr eil eschen Journals gegeben habe, 

 so finden sich in der Differentialgleichung die Variabein von selbst 

 separirt, und die Aufgabe ist auf blofse Quadraturen zurückge- 

 führt, und zwar auch hier auf Abelsche Transcendenten. 



Man kann leicht die in den eben angedeuteten Problemen 

 auf 3 Variabein bezüglichen Formeln auf jede Zahl Variabein aus- 

 dehnen, und bekommt dann merkwürdige Araplificatlonen wichti- 

 ger Theoreme. Auf diese Welse habe ich die berühmte von 

 Legendre entdeckte Relation zwischen den vollständigen Inte- 

 gralen der 1"'° und 2'" Gattung zweier elliptischer Integrale, 

 deren Modula Complemente zu einander sind, auf alle Abelschen 

 Integrale ausgedehnt. Aber dieselbe Substitution hat mich auch 

 auf das Abelsche Theorem selbst geführt, auf einem Wege, und 

 durch Betrachlungen, welche von dem von Abel eingeschlagenen 

 gänzlich verschieden sind, und welche von einem mechanischen 

 Problem ausgehn. Die von Euler gegebnen Formeln für die 

 Bahn eines von 2 festen Centren angezogenen Punktes enthalten 

 elliptische Transcendenten. Ist die eine Masse oder beide null, 

 so ist die Bahn eine Ellipse oder gerade Linie, also ihre Glei- 

 chung algebraisch. Aber durch das Verschwinden einer oder 



