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Zuerst wird die charakteristische Eigenschaft der kürzesten Li- 

 nie auf irgend einer krummen Oberfläche auf elementare Weise 

 bewiesen; sodann wendet sich die Betrachtung zu dem berühmten 

 Gauss ischen Satze über das Dreieck, welches auf einer solchen 

 Fläche durch drei jener Linien gebildet wird. Den Beweis dieses 

 Satzes hat Jacobi (im Crelleschen Journal B. 16.) bereits bedeu- 

 tend vereinfacht und ihn auf ein anderes Theorem zurückgeführt, 

 was der geometrischen Betrachtung anheim fällt. Hier wird eine 

 noch weitere Vereinfachung gegeben, wodurch die Beweisgründe 

 aus einer fast unmittelbaren geometrischen Anschauung hervorge- 

 hen. Ferner ergeben sich bei dieser Untersuchung zugleich einige 

 Eigenschaften der Curven von doppelter Krümmung. Es sei näm- 

 lich C irgend eine solche Curve. Die Normalebenen längs dersel- 

 ben berühren bekanntlich eine abwickelbare krumme Fläche F^ die 

 vom Verfasser „Evolutfläche" der Curve C genannt wird; auch 

 berühren jene Ebenen zugleich die Knotenlinie (areie de rebrousse- 

 ment)^ AT, der Fläche .F, so wie die Durchschnitte der unmittelbar 

 aufeinander folgenden Ebenen die Tangenten der Curve TT, oder 

 das System von Geraden sind, welche die Fläche F enthält. Die 

 Knotenlinie K ist der Ort der Mittelpunkte aller Schmiegungsku- 

 geln der Curve C; letztere hat eine unendliche Menge von Evolu- 

 ten, sie liegen sämmtlich auf der Fläche F, sind kürzeste Linien auf 

 dieser, jede ist Knotenlinie einer abwickelbaren Fläche und von 

 diesen Flächen schneiden sich je zwei längs der Curve C überall 

 unter demselben bestimmten Winkel. Die Krümmungsmittelpunkte 

 der Curve fliegen in einer bestimmten Curve i)f auf der Fläche J^; 

 sie Ist keine kürzeste Linie für die letztere. Rollt eine Ebene E^ 

 ohne zu gleiten, als Tangentialebene auf der Fläche F, (also eine 

 der vorgenannten Normalebenen), so wird sie stets Im nämlichen 

 Punkte P von der Curve C geschnitten, oder so beschreibt ein be- 

 stimmter Punkt P derselben die Curve C. Auf diese Weise be- 

 schreibt jeder Punkt der rollenden Ebene E irgend eine Curve C 

 von doppelter Krümmung und diese Schaar von Curven haben die 

 nämliche Evolutfläche F gemein; dagegen sind die Curven ihrer 

 Krümmungsmittelpunkte (iJf), so wie Ihre Evoluten verschieden. 

 Wird umgekehrt die Ebene E als fest angenommen und läfst man 

 die Evolutfläche i^ darauf rollen, wodurch diese auf der Ebene ab- 

 gewickelt wird: so geht wiederum die Curve C stets durch den 



