87 



plexen Zahlen von der Form a -f- 6 }/ — 1 genau die Rolle ge- 

 wöhnlicher Zahlen. Wie man durch rationale Ausdrücke die tri- 

 gonometrischen Functionen des nfachen Kreisbogens darstellet, 

 so kann man vermittelst rationaler Formeln den Bogen der Lem- 

 niscata mit einer coniplexen Zahl a -t- b y — i multipliciren; wie 

 man den Kreisbogen durch Auflösung einer Gleichung vom u"" 

 Grade in n Theile theilt, so theilt man den Bogen der Lemnis- 

 cata in a-+- b y — l Theile durch Auflösung einer Gleichung vom 

 Grade aa -i- bb. So wie man einen Kreisbogen, wenn man ihn 

 in 15 Theile thellen soll, in 3 und in 5 Theile theilt und aus 

 beiden Theilungen die gesuchte findet, so hat man einen Bogen 

 der Lemniscata, um Ihn in 17 Theile zu thellen, in l -i- 4 y -h l 

 und in 1 — 4}^ — 1 Theile zu thellen und setzt die Theilung in 

 17 Theile aus beiden zusammen. So wird man bei Untersuchung 

 jener besondern Gattung elliptischer Integrale, wenn man nur 

 einlgermafsen in ihre Natur eindringt, mit Nothwendigkelt darauf 

 hingedrängt, die Zahlen a-t-by — l als Divisoren einzuführen. 

 Mögen nun auch jene Untersuchungen der Integralrechnung viel 

 complicirter und schwieriger erscheinen als jener einfache Ge- 

 danke der Zahlenlehre, so ist es doch nicht Immer das einfache, 

 welches sich zuerst darbietet. G aufs versichert in den Disquisi- 

 tiones arithm. die Methode seiner Kreisthellung auf die Theilung 

 der ganzen Lemniscata anwenden zu können und verspricht hier- 

 über ein amplum opus zu einer Zeit, in welcher er sich sicher 

 noch nicht, seinen eigenen spätem Angaben zufolge, mit den bl- 

 quadratischen Resten beschäftigt hatte. Auch ist es nicht unwahr- 

 scheinlich , dafs er die Fundamentaltheoreme über biquadratische 

 Reste aus dieser Quelle geschöpft hat. Erst Abel hat dieses 

 Versprechen von Gaufs eingelöst, indem er wenigstens die er- 

 sten Grundzüge dieser Ausdehnung der Gaufsschen Methoden der 

 Kreisthellung auf die Theilung der Lemniscata in seluen ersten, 

 im Crelleschen Journal publlcirteu Arbeiten über die elliptischen 

 Transcendenten gab. Eine eben so interessante als schwierige 

 Aufgabe dürfte es sein, dieser Theilung des Lemniscatenbogens 

 in a-^by — 1 Theile und der Zusammensetzung der />•«" Theile 

 des Bogens aus seiner Theilung in a + by — l und in a — by — 1 

 Theile einen geometrischen Sinn abzugewinnen. Die Geometrie 

 hat in neuerer Zelt mit Glück dem Imaginären auch auf ihrem 



