88 



Gebiete einen Platz angewiesen; es ist zu erwarten, dafs sie bei 

 dem bewundernswürdigen Aufschwung, welchen sie unter Stel- 

 ner's Händen genommen hat, sich auch diesen abstruseren Ideen 

 bemächtigen wird. 



Es hat keines neuen Gedankens bedurft, um die kubischen 

 Reciprocitätsgesetze zu finden; man hatte hierzu nur nöthig auf 

 ganz analoge Weise complexe Zahlen von der Form — ^— -, 



oder solche, die aus den Kubikwurzeln der Einheit zusammenge- 

 setzt sind, als Moduln oder Divisoren einzuführen. Auch diese 

 Untersuchungen kann man mit der Theorie besonderer elliptischer 

 Integrale in Verbindung setzen. Das Reclprocitätsgesetz für ku- 

 bische Reste, welches ich in einer frühern Note mitgetheilt habe, 

 ist noch einfacher wie das von Gaufs für die biquadratischen 

 Reste aufgestellte, und erglebt sich ganz unmittelbar aus bekann- 

 ten Formeln der Krelsthellung. 



Nachdem Gaufs in seiner zweiten Abhandlung über blqua- 

 dratlscbe Reste die Elemente der complexen Zahlen von der Form 

 a-i-b]/ — 1 abgehandelt, bleibt es übrig, unter den Methoden 

 und Resultaten der Arithmetik diejenigen auszumitteln, welche 

 auch für diese complexe Zahlen ihre Gültigkeit haben. So zum 

 Beispiel sieht man leicht, dafs die Lagrangesche Methode, die 

 quadratischen Formen zu reduclren, auch auf solche Ausdrücke 

 pyy-\-qyz-\-rzz sich ausdehnen läfst. In welchen p, q, r, y, z 

 complexe Zahlen der angegebenen Art bedeuten. Um die ein- 

 fachste complexe Form zu nehmen, yy — '\J — \zz^ kann man 

 beweisen, dafs jede Zahl a-\-b\l — 1, welche solche Form thellt, 

 wiederum dieselbe Form haben müsse, und der Beweis ist voll- 

 kommen dem Beweise des bekannten Satzes analog, dafs jede Zahl, 

 welche die ^oxm. yy -\- zz thellt, wiederum die Summe zweier 

 Quadrate Ist. Ist p = aa + bb eine Primzahl von der Form 

 8«-f-l, so beweist man aus den Elementen der Theorie dieser 

 complexen Zahlen sogleich, dafs ]/ — 1 quadratischer Rest von 

 a-f-Ä}/ — 1 ist, oder was dasselbe ist, dafs a-f-Ä]/ — l Theller 

 der Form yy — ")/ — i*zz ist, also nach dem eben bemerkten 



Satze selber diese Form bat. Zerthellt man diese Form in die 



« t 



beiden Factoren j-f-V — \'z und y — ')/ — 1 • ^, und setzt 



