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wo y, y", t, i" reelle ganze Zahlen bedeuten, so erhält man 

 «-t-6}/— 1 in zwei Factoren, 



y-*^y"y-i-^/- i[^'-H-"y-0' 



zerfällt, das ist in zwei complexe Zahlen, welche aus den 8'"" 

 Wurzeln der Einheit zusammengesetzt sind, oder wenn man 



y — 1 ^ « und 



(pa = y-i~y ct^ -i- z a-+- z" «*, 

 setzt, so wird 



a-|_Ä|/_I = a-+-6«^ = (pu'cpa^ 



und, wenn man n^ für u setzt, 



o — & }/ — 1 = a — Ä«^ = (pn^'tpct^. 



Die Primzahl p = aa-t- bb von der Form 8n -t- i ist daher 

 immer das Product der vier complexen Zahlen 



(pa* <pa^ ' cpcc^ ' (pu'' . 



Man sieht leicht, dafs das Product </>« • cpcc^ die Form c -f- d}/ — 2 

 und das Product cpK'cpc4'' die Form e-t-/]/2 erhält. Die drei 

 Arten, auf welche man die vier Factoren in zwei Paare ordnen 

 kann, geben daher die Darstellungen derselben Primzahl in den 

 drei Formen a^-+-b^, c^-i-2d-, e^ — 2f, welche hier aus einer 

 gemeinschaftlichen Quelle abgeleitet sind, so dafs die sechs Zah- 

 len a. b, c, d, e, f auf rationale Art durch vier andre Zahlen 

 y, y, z, z" ausgedrückt werden. Man kann diese Zerfällung 

 der Primzahlen von der Form 8«-t-l in vier complexe Factoren, 

 welche aus S*^° Wurzeln der Einheit zusammengesetzt sind, auch 

 durch die gewöhnlichen Methoden der Arithmetik ableiten. Ganz 

 durch dieselben Methoden beweist man auch, dafs die Primzahlen 

 von der Form 12m -Hl sich in vier complexe Factoren zerfallen 

 lassen, welche aus 12'" Wurzeln der Einheit zusammengesetzt 

 sind; die drei verschiedenen Arten, wie man diese vier Factoren 

 zu zwei Paaren ordnen kann, geben die Darstellungen der Prim- 

 zahl durch die drei Formen o^-f-d^, c--f-3d^, e'^ — 3/^. Man 

 kann fiir die Auffindung dieser Zcrfällungen leichte Vorschriften 

 angeben, nach welchen Hr. Oberlehrer Zornow in Königsberg 



