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mir für die Primzahlen von der Form Sn-f-l und 12n-hl bis 

 1000 diese Zerfällungen zu Lerechnen die Güte gehabt hat. 



Zu gleicher Zeit, als ich diese Beobachtungen anstellte, 

 richtete ich meine Aufmerksamkeit auf gewisse Eigenschaften der 

 complexen Zahlen, auf welche die Theorie der Kreistheilung 

 führt* Ich habe in der erwähnten Note bemerkt, dafs wenn X 

 ein Theiler von p — 1 ist, sich die Primzahl p in der Regel auf 

 mehrere verschiedene Arten als Product zweier complexen Zah- 

 len darstellen läfst, welche aus Ä"° Wurzeln der Einheit zusam- 

 mengesetzt sind. Es ereignet sich nun, und man kann dies durch 

 die Theorie der Kreistheilung selbst beweisen, dafs man mehrere 

 dieser complexen Zahlen mit einander multipliciren und das Pro- 

 duct wieder durch andre complexe Zahlen derselben Art divldlren 

 kann, so dafs der Quotient ebenfalls eine ganze complexe Zahl 

 wird, ohne dafs man sieht, wie die complexen Zahlen des Nen- 

 ners sich gegen die des Zählers fortheben. Eine genaue Be- 

 trachtung dieses merkwürdigen Umstandes führte mich zu der 

 Überzeugung, dafs diese complexen Factoren der Primzahl p Im 

 Allgemeinen selbst wieder zusammengesetzt sein müssen, so dafs, 

 wenn man sie in die wahren complexen Primzahlen auflöst, 

 die complexen Primzahlen, welche die Factoren des Nenners bil- 

 den, [gegen die Primfactoren des Zählers sich einzeln aufheben 

 lassen. Da ich auf ganz anderem Wege zu diesem Resultate 

 herein für X = s und X = 12 gekommen war, so wagte ich den 

 etwas mühsamen Versuch mit X = 5, und in der Zhat gelang es 

 mir für die Primzahlen von der Form 5«-+-l, mit welchen ich 

 den Versuch anstellte, jeden Ihrer beiden aus 5'"° Wurzeln der 

 Einheit zusammengesetzten Factoren noch einmal in zwei ganze 

 Factoren derselben Art zu zerfallen; worauf es dann nicht schwer 

 war einen allgemeinen Beweis für diese Zerfällbarkeit zu finden. 

 So lassen sich also die Primzahlen von der Form 5n -^- 1, 8n-f- 1, 

 12n-f-l als Producte von vier ganzen complexen Zahlen darstel- 

 len, welche respective aus 5'% 8'% 12" Wurzeln der Einheit zu- 

 sammengesetzt sind. Es erhellt übrigens, dafs für die Primzahlen 

 von der Form 5n -f-l durch eine andre paarweise Verbindung 

 der vier Factoren Ihre Darstellung in der Form o- — 5 5^ erhal- 

 ten wird. 



