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der Gleichung wie o-^ = iV.s -f- l die zweite (s — r^Y = Ns -i- i 

 Statt, wo ^ — 3"« nbenfalls eine der Zahlen er ist. Die Anzahl 

 der Gleichungen mit gleichen Factoren ist also ebenfalls gerade. 

 Das Product der beiden er, nenilich t^ und s — t„, In zwei zu- 

 sammengehörigen Gleichungen, Ist aber immer Ns — 1. Also ist 

 das Product aller derjenigen t, welche In den Gleichungen mit 

 gleichen Factoren vorkommen, und folglich auch das Product 

 aller o- ohne Ausnahme, iV.c + 1 oder Ns — l, je nachdem die 

 Anzahl der Paare von Gleichungen mit gleichen Factoren 

 gerade oder ungerade ist. Diese Anzahl entscheidet daher 

 allein über das Zeichen der Einheit In dem Werthe des Products 

 Ns ± 1 aller er. 



Um nun zu finden, wie viele Paare von Werthen von t 

 der Gleichung (r^=Ns-i-i, das helfst der Gleichung (a--f- 1) 

 (t — = ^^ S*""? thun, zerlege man s in zwei Factoren u 

 und V, das unbestimmte und unbekannte N aber ebenfalls in zwei 

 Factoren w, und v,, so dafs (t -f- l) (o- — l) = uvu,Vj ist, und 

 nun a- -+- l = UV , und er — 1 = v«, gesetzt werden kann. Aus 

 der Untersuchung dieser beiden Gleichungen findet sich Fol- 

 gendes. 



Nur diejenigen Factoren u und v kommen in Betracht, die 

 entweder gar keinen Factor >.l, oder blofs den Factor 2 gemein 

 haben. Zu jedem Factoren -Paare der ersten Art gehört ein 

 Werth von o-, und nur ein Werth; zu jedem Paare der zwei- 

 ten Art gehören zwei Werthe von o-, und nur zwei. Alle 

 Werthe von o- für die letztere Art von Factoren sind von ein- 

 ander verschieden; alle Werthe für die erste Art aber kommen, 

 wenn dergleichen mit denen für die zweite Art zugleich Statt 

 finden, unter diesen wieder vor. Es findet sich ferner, wenn 

 man die verschiedenen in Betracht kommenden Factorenpaare im 

 allgemeinsten Falle in vier Reihen ordnet, die erste ungerade u 

 und gerade v, die zweite nur mit 2 theilbare u und gerade v, 

 die dritte gerade u und nur mit 2 theilbare v und die vierte ge- 

 rade u und ungerade v enthaltend: dafs dann die Anzahl der 

 möglichen Factoren -Paare in allen vier Reihen die nemliehe und 

 zwar = 2" Ist, wenn it die Anzahl der in s enthaltenen, bei der 

 gegenwärtigen Zerlegung als unthellbar zu betrachtenden unge- 

 raden Factoren, den Factor i eingeschlossen, bezeichnet. 



