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zum Behuf einer genäherten Be^tiramuiig der Funktionswerthe 

 selbst in Anspruch genommen. 



Gegen die unmittelbare Anwendung dieser Entwickelungen 

 der ersten Art findet kein Bedenken statt, insofern sie nur in 

 Gemäfsheit des Satzes geschieht, nach welchem, kurz aus- 

 gedrückt, wofern die Funktionen einander gleich sind, auch ihre 

 Entwickelungen nach steigenden Potenzen derselben Hauptgröfse 

 einander gleich sind. 



Anders verhält es sich aber mit der Anwendung eben die- 

 ser Entwickelungen von der zweiten Art. Da namentlich bei 

 der genäherten Bestimmung des besondern Werthes einer Funk- 

 tion mittelst ihrer Entwickelung, allgemein zu reden, nur ein 

 Theil der Entwickelung in Rechnung gebracht werden kann, so 

 ist hier, um, den Anforderungen der Wissenschaft gemäfs, das 

 Genäherte selbst von einer solchen Bestimmung darzuthun, stets 

 eine anderweitige Beziehung nothwendig, mittelst welcher sich 

 die Grenzen der Differenz erkennen lassen, die zwischen dem 

 besondern Werthe der Funktion und dem Werthe des in Rech- 

 nung gebrachten Theiles der Entwickelung besteht. 



Für den Fall einer expliciten Funktion verdankt die Wis- 

 senschaft eine solche Beziehung den Leistungen d'Alembert's 

 und Lagrange' s. Für den Fall der Entwickelungen nach dem 

 Lagrange'schen Lehrsatze hat Hr. Cauchy {Mem. de l'Acad. 

 d. Scienc. T. FIIL) eine ähnliche zu ermitteln gesucht. Aber 

 aufser, dafs die betreffende Gleichung schwerlich in der Un- 

 bedingtheit fest zu halten sein dürfte, in der jsie aufgestellt wor- 

 den ist, umfafst auch der Lagrange'sche Satz nur einen sehr be- 

 sondern Fall der Entwickelung einer, in impliciter Form ge- 

 gebenen Funktion. Einen allgemeinern Fall der Entwickelung 

 einer impliciten Funktion nach steigenden Potenzen einer Haupt- 

 gröfse, deren Coefficienten sich, streng allgemein, mittelst expli- 

 citer Funktionen bestimmen lassen, betrifft der Laplace'sche 

 Lehrsatz; und für diesen Fall hat die folgende Abhandlung die 

 Ermittelung der in Rede stehenden Beziehung zum Gegenstande. 

 Der Weg, welcher zu dieser Relation führt, Ist höchst gerade 

 und der der Summation der Laplace'schen Entwickelnngsform 

 selbst. 



