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etwas abweichender und einfacher Beweis des oben gedachten 

 bekannten Satzes für den Fall, wo z eine Primzahl ist. 



An dieser Factoren-Form des Polynoms ist nun deutlich 

 zu sehen, dafs F„x^ dann, wenn z Factoren >1 hat, für mehr 

 als m Werthe von x-<s mit z aufgehen kann, nemlich, nicht 

 blofs für die m Werthe e^, e^, e^ .... e„ von x, für welche 

 F„x offenbar mit z aufgeht, sondern auch noch für alle diejeni- 

 gen andern Werthe von ;f<z, welche die Eigenschaft haben, 

 dafs die einzelnen Factoren jc — e,, x — e^. x — e^ etc., 

 für eines und dasselbe x, mit einzelnen Factoren von 2 

 aufgehen: blofs unter der Bedingung, dafs alle Factoren von z 

 in dem Producle (x — e,)(x — e^) — (x — e„) aufgehen. 



Es wird zuerst der Fall untersucht, wo z ein einfaches 

 Product von Primzahlen p, z. B. i=PiP<2.Pi . . . . pi, 

 ist, nemlich so, dafs alle die Primzahlen p nur in der ersten 

 Potenz in z als Factoren vorkommen. In dem Ausdrucke 

 P\P1P^ ••••Pk von z werden immer die Factoren p so geord- 

 net angenommen, dafs ^, der kleinste von allen, p^ der 

 nächst gröfsere, p^ wieiler der nächst gröfsere u. s. w. 

 und /»* der gröfste von allen ist. 



Für diesen Fall ergiebt die Untersuciiung die ihrer Ein- 

 fachheit wegen merkwürdigen Resultate, dafs, wenn zunächst 

 die e in dem obigen Factoren- Ausdrucke von jP„;*; alle kleiner 

 als Pi sind, das heifst also, wenn F„ r zunächst für Werthe 

 von X aus der Reihe der Zahlen 1,2,3 — />, — 1 mit z auf- 

 geht: dafs alsdann die gesammte Anzahl der Werthe von x<z, 

 für welche F^x mit z aufgeht, m* ist. Ist daher in=ipi — l, 

 das heifst, geht F^x für alle die Werthe 1,2,3....;?, —1 von 

 :«; mit z auf, so ist also die gesammte Zahl der Werthe von 

 x<z, für welche F„x mit z aufgeht, (/y, — l)*. Geht hierauf, 

 weiter, F^x für mehr als />, — 1, jedoch noch für weniger als 

 ^2, Werthe von x<.p2 mit z auf, so ist die Gesammtzahl der 

 Werthe von x<.z, für welche F^x mit z aufgeht (;?,— l)/ra*-% 

 folglich für m zzzp^ — i, =(p,— l)0»2 — 0' "'• Geht F„x für 

 mehr als p,2 — 1, jedoch noch für weniger als p^ Werthe von 

 x<.pj mit z auf, so ist die Gesammtzahl der Werthe von x<,z, 

 für welche F^x mit z aufgeht, ssC/'i — OC/'z — O'«*""'^» a's« für 

 rn =p^ — !, = (;>,— i)(j?2 — 1)0^1 — 0*~^- Und so weiter. Geht 

 zuletzt F^x für mehr als ;>*_, — i, jedoch noch für weaiger 



