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als pt Werthe von x<.p^ mit z auf, so ist die Gesammt- 

 zahl der Werthe von x<.s^ für welche F„x mit z aufgeht, 

 = {Pi — OOz — OOs — •••• {Pk-\ — O"- *'so endlich fiir 

 rn =Pk — 1, ={p\— 1)02 — IX/'S — ••••(/'* — 0« Dieses ist 

 aber genau die Zahl aller relativen Primzahlen zu 2, die klei- 

 ner als z sind. Also folgt, dafs ein Polynom F^x nicht höher 

 als vom Grade pi, — 1 sein darf, um für alle zu z relative 

 Frimzahten, dieselben statt x gesetzt, mit z aufzugehen, wie 

 grofs auch in z=pfp„p^ ....p^ die Anzahl der Factoren sein 

 mag. Dieser letzte Satz lälst sich auch noch , ohne zu ihm all- 

 mälig hinaufzusteigen, auf andere Weise leicht unmittelbar be- 

 weisen. — Es braucht also z.B., wenn ^ =53.5.7.9.11 .13.17.19.23 

 = 111646435 ist, F^x nur ein Polynom vom Grade 22 zu sein, um 

 fiir alle die (3— 1)(5— 1)(7— 1)(9— l)(ll— l)(l,3— l)(l7— 1)(19— 1)(23— 1) 

 = 27695360, also für mehr als 27 Millionen verschiedene Werthe 

 von x<:.z, die zu z relative Primzahlen •<z sind, mit z auf- 

 zugehen. Wenn übrigens F„x = {x — 1) (x — 2) (o; — 3) . . . . 

 (x — (p^ — 1)) -f- iVz sein soll, so kommen offenbar neben dem 

 X auch Zahlen vor, die nicht relative Primzahlen zu z sind. Da 

 dieses nicht sein darf, indem das Product aller der Zahlen 

 1, 2, 3..../7^ — 1, neben ac, der letzte Coefficient a„ von F^x 

 ist, von welchem vorausgetetzt wird, dafs er eine relative Prim- 

 zahl zu z sei, so kommt es noch darauf an, ob jene, nicht zu z 

 relative Primzahlen durch andere ersetzt werden können, welche 

 keinen Theiler mit z gemein haben. Es wird nachgewiesen, 

 dafs dies immer der Fall ist; so dafs also die obigen Sätze 

 durch diesen Umstand keine Beschränkung erleiden. 



Es war nun weiter auch noch der allgemeinste Fall in 

 allen ähnlichen Beziehungen zu untersuchen, nemlich der Fall, 

 wenn z = pi^\ p^^zp^^ö ....p^^fr ist, wo, während die p Prim- 

 zahlen sind, die Exponenten £ auch gröfser als 1 sein können; 

 welches dann der Fall jedes möglichen ganzzahligen Wer- 

 thes von z sein würde. 



Um aber die Abhandlung nicht zu weit auszudehnen, ist 

 einstweilen nur das Resultat für die Frage mitgelheilt worden, 

 von welchem Grade m mindestens das Polynom F„x dann sein 

 müsse, wenn dasselbe für alle Werthe von x<Zz, welche rela- 

 tive Primzahlen zu z sind, aufgehen soll. 



Die Antwort ist, dafs, in dem besondern Falle, wenn. 



