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IV. Section für Mathematik, Astronomie und Mechanik. 
Erste Sitzung am 17. September 1858. 
Präsident: Professor Argelander von Bonn. 
Ständiger Secretär: Professor Dr. Wiener von 
Carlsruhe. 
Privatdocent Dr. Cantor von Heidelberg: 
Zur ältesten Geschichte der Zahlzeichen. 
Die Einführung unserer gegenwärtigen Ziffern in 
Europa ist der Gegenstand vielfacher Untersuchung 
gewesen, deren wahrscheinliches Resultat ich in einem 
früheren Aufsatze !) zusammenzustellen versuchte. Es 
ergab sich dabei, dass ein so später Ursprung der 
modernen Zahlzeichen, als sonst wohl angenommen 
wurde, durchaus unstatthaft ist; dass man vielmehr zu 
der Behauptung berechtigt ist, es sei im Wesentlichen 
nur eine Auffrischung des fast Vergessenen, was die 
Araber vermittelten 2), und deren Hauptanspruch auf 
unsere Dankbarkeit bestehe darin. dass sie bei An- 
wendung der Null zur Schrift machen konnten, was 
vorher nur Rechenvortheil war, und in dieser Gestalt 
wohl nie wirkliches Volkseigenthum geworden wäre. 
In der That besassen schon die alten Griechen in ihrem 
aßaE eine Tafel, die, nach decadischem Systeme ein- 
getheilt, mit Zeichen beschrieben wurde, welche den 
einzelnen Ziffern, deren wir uns noch heute bedienen, 
äquivalent waren. Nur die Null scheint eine neue Er- 
findung zu sein, deren indischer Ursprung wohl selten 
bezweifelt worden ist. Ich behalte mir vor, auf diesen 
Punkt im Verlaufe dieser Abhandlung näher einzugehen. 
Meine Hauptaufgabe aber soll sein, solehe Angaben zu 
sammeln, welche auf den ersten Ursprung der Zeichen 
Bezug haben, von welchen eine frühere europäische 
Anwendung feststeht, als Leonardo Fibonacci mit 
den Arabern zusammentraf. Es ist dieses ein fast durchaus 
neuer Gegenstand. indem theils noch kein Mathematiker 
sich damit beschäftigt hat, theils die Untersuchungen von 
Seiten der Philologen und Archäologen so zerstreut 
und bruchstückweise vorhanden sind, dass schon dess- 
halb ein Nebeneinanderstellen derselben berechtigt er- 
scheint, da nur der Vergleich den Schlüssen, die ich 
zu ziehen gedenke, als Prüfungsmittel dienen kann. 
Die Hauptstelle zur Begründung der Ansicht von 
einem frühern europäischen Gebrauche der Ziffern ist 
die auch bisher von allen Historikern angeführte aus 
der Geometrie von Boethius, deren wörtliche An- 

BEER & 
1) Vgl. die Zeitschrift für Mathematik und Physik, I. Ba. 
‘8. 65 fe. 
2) Dieser Ansicht scheint schon Pater Caspar Schott, 
Cursus Mathematicus. Herbipoli. 1662, gewesen zu sein. 

führung hier am Platze sein dürfte, wenn sie auch 
schon vielfältig abgedruckt ist. Dort heisst es: „Pytha- 
goriei vero ne multiplieationibus et partitionibus et in 
podismis aliquando fallerentur, ut in omnibus erant 
ingeniosissimi et subtilissimi deseripserunt sibi quandam 
formulam, quam ob honorem sui praeceptoris mensam 
Pythagoream nominabant, quia hoe quod depinxerant 
magistro praemonstrante cognoverant. A posterioribus 
vero appellabatur abacus, ut, quod alta mente concepe- 
rant, melius, si quasi videndo ostenderant, in notitiam 
hominum transfundere possent, eamque subterius habita *) 
sat mir adeseriptione formabant.“ Dann folgt in einigen 
Manuseripten die Multiplicationstabelle (das Einmaleins), 
in anderen, und zwar gerade in solchen, welche man 
für die älteren zu halten Grund hat, eine Abbildung 
der römischen Rechentafel. 
Von diesen letzteren Manuscripten war schon seit 
Anfang dieses Jahrhunderts der Altdorfer Codex durch 
Mannert entdeckt worden. Chasles fand einen 
ganz ähnlichen Codex in Chartres, und derselbe For- 
scher machte noch auf zwei Manuscripte der Pariser 
Bibliothek (Bibliotheque imperiale, rue Richelieu) aufmerk- 
sam, welche dort unter den Nummern 7377 C und 7185 
registrirt sind. Ich habe Gelegenheit genommen, diese 
beiden selbst einzusehen, und die Zeichen, welche in 
denselben vorkommen, zu copiren. 
An das schon Angeführte sich anschliessend existirt 
nämlich in den genannten Manuseripten der Zusatz von 
unzweifelhafter Gleichzeitigkeit mit dem übrigen Texte: 
„Quidam hujuseemodi apieum notas sibi conseripserunt“, 
und Zeichen, welche in ihrer Analogie mit den modernen 
Ziffern sich als Ursprung derselben erweisen. Dann 
endlich folgt noch als Schluss: „Quidam vero in hujus 
formae depietione litteras alfabeti assumebant“. 
Zu diesen schon bekannten Thatsachen möchte ich 
indessen noch hinzufügen, dass das Manuscript 7185 
der Pariser Bibliothek auf dem Rücktitel fälschlich 
Gerbert als Verfasser zugeschrieben ist, ein Irrthum, 
welcher nicht ohne Bedeutung für den Satz ist (der 
auch Bd. I. S.71 Zeitschrift für Mathematik und Physik 
aufgestellt wurde). dass Gerbert seine Kenntniss der 
Zahlzeichen nicht von den Arabern, sondern aus der 
Geometrie des Boethius besass. 
Wenn nun in solcher Weise, bei Mitberücksichtigung 
der in meinem früheren Aufsatze angeführten sonstigen 
Gründe, dargethan ist, dass die Pythagoräer schon 
Zahlzeichen besassen, so drängt sich unmittelbar die 
weitere Frage auf, woher sie dieselben bezogen hatten, 
*) Andere Lesart: subterwis habiti. 
