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CH, AH und BH 
beziehungsweise durch 
h, a-+b und a—b, 
also die der Linien 
AC und BC 
durch 
UV (a + b)?+ h? und V(a — b)? + h? 
ausgedrückt. Wir erhalten somit, weil 
— na V(a+b®?+h?. V’la—b)?—+n? 
ıst, 
zZ —nAC.EBC, 
was uns zu dem Satz führt: 
„Ziehen wir an die Endpunkte der einen 
der parallelen Geraden, welche Bestand- 
theile des Meridians einer Kugelzone bil- 
den, von einem Endpunkt der andern aus 
zwei gerade Linien, so finden wir, dass der 
Flächeninhalt der Kugelzone gleich dem 
Flächeninhalt einer Ellipse ist, die diese 
zwei Verbindungslinien zu Halbaxen hat, 
oder gleich dem Mantel eines Cylinders, 
dessen Grundfläche die eine dieser Verbin- 
dungslinienalsDurchmesserbesitzt unddes- 
sen Höhe gleich der andern dieser Verbin- 
dungslinien ist“, dessen rein geometrischer Beweis 
einfach so lautet: 
I. Bildet ABCD den Meridian und EF die Axe der 
Kugelzone und ziehen wir — zunächst unter der Vor- 
aussetzung, dass Halbmesser EC kleiner als Halbmesser 
FB ist — die Geraden AC, BC, den Kugeldurchmesser 
CG, sodann die Gerade AG und schliesslich parallel 
zu EF die Linie CH; so entstehen die ähnlichen Drei- 
ecke ACG und BCH. Es verhält sich somit 
CG :AC =BC:CH, 
woraus folgt, dass 
AC.BC=(G.CH 
und 
nAC.BC=n(0G.CH 
ist. Nach einem bekannten Satz der Stereometrie ist 
nun der Flächeninhalt Z der Kugelzone 
Z=n0G.CH 

! 
und somit auch 
BB =znrREerBE 
II. Ist aber Halbmesser EC gleich den Halbmesser FB, 
so bildet die Gerade AC einen Kugeldurchmesser, wäh- 
rend die Gerade BC gleich der Zonenhöhe ist, woraus 
folgt, dass also unser Lehrsatz auch noch in diesem 
Falle richtig bleibt. 
III. Ist endlich Halbmesser EC grösser als Halb- 
messer FB, so können wir ähnlich dem in Nro. I. ge- 
führten Beweis zeigen, indem wir vorerst die Gerade 
AD ziehen, dass 
Z=nAC.AD 
und somit auch 
Z = 1n.AC..'BC 
sein muss. 
Der hier soeben bewiesene Lehrsatz ist insofern von 
Nutzen, als sich auf Grund desselben unmittelbar die 
Formel 
Z= nV [(a + b)? + h?2] [(a — b)? + h2] 
anschreiben lässt. Er gewährt ferner — namentlich 
für trigonometrische Untersuchungen — eine sehr schöne 
Ausbeute. die der Oeffentlichkeit zu übergeben jedoch 
einer besondern Abhandlung *) vorbehalten sein soll. 

Nur so viel sei mir noch zu sagen vergönnt: 
Verschieben wir den Parallelkreis mit dem Halb- 
messer EC parallel seiner ursprünglichen Lage, bis er 
mit dem Pol P zusammenfällt, so werden die Punkte 
C und D auf Punkt P zu liegen kommen und die Ge- 
raden AC und BC in die einander gleichen Geraden . 
AP und BP übergehen. Statt der Zone werden wir 
sodann die Kugelhaube ABCPD und statt einer Ellipse 
mit den Halbaxen AC und BC einen Kreis mit dem 
Halbmesser BP erhalten und somit auf den in einigen 
Lehrbüchern schon eingebürgerten Satz stossen, WOT- 
nach der Flächeninhalt der Kugelhaube ABCPD = nBP? 
gleich dem Flächeninhalt eines Kreises ist, der zum 
Halbmesser die Sehne hat, welche zum Bogen des Halb- 
Meridians der Haube gehört. 
Zu letzterenr Satz gelangen wir aber auch, wenn 
wir unsere Kugelzone dadurch zur Haube erweitern, 
dass wir den Parallelkreis mit dem Halbmesser FB pa- 
rallel seiner ursprünglichen Lage bis zum Pol Q ver- 
schieben; indem alsdann die Geraden AC und BC in 
den Geraden CQ zusammenfallen. 
Erweitern wir aber unsere Kugelzone zur vollstän- 
digen Kugelfläche, indem wir gleichzeitig auf die schon 
angegebene Weise den Parallelkreis mit dem Halbmesser 
EC bis zum Pol P und den mit dem Halbmesser FB bis 
zum Pol Q verschieben, so gehen die Geraden AC und 
BC in den Kugeldurchmesser PQ über. Wir stossen 
somit auf den Satz, wornach die Oberfläche der ganzen 
Kugel gleich dem Flächeninhalt eines Kreises ist, der 
zum Halbmesser den Durchmesser der Kugel besitzt. 

*) Der schon eitirten Schrift. 
