145 
Dritte Sitzung am 20. September 1858. 
Präsident: (bei Verhinderung des gewählten 
Hofrath Redtenbacher) Professor Zeeh. 
Professor Zech: 
Ueber die verschiedenen Krümmungen in einem Punkt 
einer Fläche zweiten Grads. 
Die Krümmung in einem Punkt einer Fläche wird 
durch die Krümmungskreise der verschiedenen Normal- 
schnitte bestimmt. Denkt man sich die stetige Aufein- 
anderfolge dieser Krümmungskreise, so hat man eine 
Fläche, deren Anschauung sich im Allgemeinen nicht 
leicht gibt. Bei den Flächen zweiten Grades lässt sich 
eine leichte Anschauung der Krümmung dadurch ge- 
winnen, dass man sie auf die einer andern Fläche zwei- 
ten Grades in den Endpunkten einer Axe zurückführt. 
Wie dies geschieht, soll am Beispiel des Ellipsoids ge- 
zeigt werden. 
Die neuere Geometrie führt auf folgenden Satz: 
wenn man in einem Punkt N einer Ellipse die Normale 
NN’ (N’ der zweite Schnittpunkt mit der Ellipse) zieht 
und durch ihre Mitte O eine zu ihr Senkrechte und einen 
Durchmesser DD/’, so ist das Stück QQ’ der Senkrech- 
ten zwischen den Verbindungslinien ND und ND’ die 
eine, die Normale NN’ die andere Axe einer Ellipse, 
welche die gegebene in N oseulirt. 
Der analytische Beweis dafür ist folgender: Man 
nehme N zum Ursprung, NN’ zur Ordinatenaxe, senk- 
recht dazu die Abseissenaxe; dann ist die Gleichung 
der Ellipse: 
y?-+-Axy+Bx?’+(Cy=o 
dy Ay-+ 2Bx 
de 7 0 2y-r RE 2C 
D und D’ sind die Punkte, für welche die Tangen- 
ten der Ellipse der Ordinatenaxe parallel sind, also hat 
man für sie: 
woraus 

2yt+tAxtC=o 
oder auch, weil die Gleichung der Ellipse 
y@y+4Ax+0C)+Bx?—y?=o 
sich schreiben lässt, 
Bx? 

Bee ayealan I Hayes 
x 
und man sieht leicht, dass dies die Gleichungen von 
ND und ND’ sind. Ferner ergibt sich aus der Ellipsen- 
gleichung für x = o: 
NN’ = —-C, aso NO =—1C 
und aus der Gleichung von ND: 
0oQ 2 
arg 


der Krümmungshalbmesser 
wie die Differentialrechnung ihn nach der allgemeinen 
Regel gibt. 
Denkt man sich nun in einem Punkt N eines Ellip- 
soides alle möglichen Normalschnitte und construirt man 
in jedem nach dem eben bewiesenen Satze die in N os- 
eulirende Ellipse, so fallen alle Durchmesser DD’ in 
Eine Ebene, den geometrischen Ort der Halbirungspunkte 
aller zur Normale parallelen Sehnen. Die Punkte D 
liegen also auf einer Ellipse, die Linien ND bilden einen 
Kegel und die Axen QQ’ sind die Durchmesser einer 
Ellipse. Folglich ist der Ort aller oseulirenden Ellipsen 
ein Ellipsoid, von welchem eine Axe die Normale ist, 
und die Krümmung in einem beliebigen Punkt ist so auf 
die im Endpunkt einer Axe zurückgeführt. 
Der Satz über die Summe der Krümmungen in zwei 
senkrechten Normalschnitten ergibt sich jetzt daraus, 
dass die Summe der reciproken Quadrate zweier zu ein- 
ander senkrechter Halbmesser einer Ellipse constant ist. 
Professor Frisch: 
Ueber seine Ausgabe der Werke Keplers. — Der 
Redner zeigt den ersten Band und Bogen des im Druck 
begriffenen zweiten Bandes dieser Ausgabe, welche 8 
Bände umfassen wird, und einen Steindruck eines auto- 
graphischen Briefes Keplers vor. Er gibt kurz den 
Inhalt des ersten Bandes an, erläutert, dass er die chro- 
nologische Reihenfolge der Entstehung beibehalten, dass 
er die oft sehr umfangreichen Briefe wegen der Man- 
nigfaltigkeit ihres Inhaltes dem Gegenstande nach ge- 
spalten und den Schriften, von denen sie handeln, vor- 
gesetzt, und endlich, dass er die beigefügten Notizen 
lateinisch geschrieben habe, weil auch Kepler sich 
meist dieser Sprache bedient, und ausserdem, damit auch 
für die Nichtdeutschen keine Schwierigkeit entstände. 
Der Redner führt an, dass er durch 25 Jahre grosse 
Mühe und Mittel dieser Arbeit zugewendet, indem er 
die Hauptquelle, nämlich die Petersburger Manuseripte, 
24 meist von Kepler selbst geschriebene Folianten, 
welche ihm durch Professor Struve zur Benutzung 
verschafft wurden, theils selbst abgeschrieben, theils von 
anderen habe abschreiben lassen, dass er Reisen und 
Nachforschungen angestellt; dass auch die Theilnahme 
in Deutschland über Erwarten gross, dagegen in Eng- 
land und Frankreich sehr klein ausgefallen sei; damit 
nun das weitere Erscheinen dieses Werkes nicht in Frage 
gestellt werde, fordert er die Versammlung auf, seine 
Verbreitung möglichst zu unterstützen. 
19 
