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Dr. Weiler von Mannheim: 
Ueber die Reduction der partiellen Differentialglei- 
chung der ersten Ordnung mit n + 1 Veränder- 
lichen auf eine Differentialgleichung der n!e Ord- 
nung mit nur zwei Veränderlichen. 
Das allgemeine Integral der partiellen Differential- 
gleichung: 

dz dz 
— W 
dx Rn dw 
d 
1. a a apa 
dy 
worin Z, Y,X,W... Functionen der n— 1 Ver- 
änderlichen z y x w sind, hat bekanntlich die Form 
Vlaßy-.)=o, 
wo ı eine willkührliche Function, «ßy... aber be- 
stimmte Functionen der Veränderlichen vorstellen. Die 
Funetionen & ß y.- - . sind der einzigen Bedingung 
unterworfen, dass jede von ihnen die Gleichung 


ds ds ds ds 
2. Z y -X W Ba 
dz as dy er dw 7 e 
befriedige, wenn sie an die Stelle von s eingeführt wird; 
nur das allgemeine Integral der partiellen Differenzial- 
gleichung 1. ist demnach bekannt, sobald n verschiedene 
Gleichungen 
e=a,ß=b, N: 5 
u. s. w. vorliegen, welche dieser Differentialgleichung 
genügen, und welche ausser den n Beständigen a,b, ce... 
keine weiteren willkürlichen Grössen einschliessen. 
Die Bestimmung dieser Functionen hat aber eigen- 
thümliche Schwierigkeiten, da es keine allgemein eültige 
Regel gibt, wornach dieselben sich entwickeln liessen. 
Die Bestimmung gelingt immer nur für besondere Fälle, 
wenn nämlich die Coeflieienten ZYX W... mehr be- 
sondere Formen annehmen, oder wenn dieselben gewisse 
Beziehungen unter einander eingehen. Aber auch dazu 
gelangt man immer nur versuchsweise. Man mache 
nämlich, indem man die besondere Form der partiellen 
Differentialgleichung 1. im Auge behält, eine Annahme 
in Bezug auf das Vorkommen der Veränderlichen in «, 
und untersuche alsdann, ob dasjenige, was in « noch 
unbestimmt geblieben ist, so angegeben werden kann, 
dass man der Gleichung 2. Genüge leistet. Hätte man 
z. B. das Vorkommen aller n + 1 Veränderlichen in « 
festgestellt, in der Weise, dass eine Anzahl unbestimmter 
Beständigen darin Platz nähme, so würde die Rechnung 
darauf zurückkommen, diese Beständigen wo möglich 
so anzugeben, dass die Voraussetzung, von der man 
ausging, Bestand hat. Wenn es auf die Bestimmung 
der Functionen @ ß y... ankommt, so begegnet man 
demnach gewissen Schwierigkeiten, welche um so grösser 
sind, je mehr Veränderliche in der partiellen Differen- 
tialgleichung vorkommen; und man hat im Voraus 
niemals die Gewissheit, ob es überhaupt gelingt, diese 
Funetionen in endlicher Form darzustellen. 
Man hat bei der Bestimmung der Funetionen «ßy... 
noch einen andern Weg eingeschlagen. Wenn nämlich 
das System der n Gleichungen: 

r dx r 
ae 2. = N zz 
dz z dz 


—=/W 
u. s. w. vorliegt, so ergeben sich daraus die n Verän- 
derlichen yx w... als Functionen der einzigen Ver- 
änderlichen z. Das Integral des vorliegenden Systems 
besteht demnach aus n endlichen Gleichungen zwischen 
den n—+- 1 Veränderlichenzyxw... und man kann 
sich leicht davon überzeugen, dass dieselben gleichbe- 
deutend sind mit den obigen: 
N a ir 
u. s. w., welche die Differentialgleichung 1. befriedigen. 
Denn wenn man die Gleichung @ —= a der Differentiation 
unterwirft, und dabei die Veränderlichen yx w...als 
Functionen von z ansieht, so entsteht: 
da d« dy 
dz dy dz dx dd dw dz 
Mit Rücksicht auf das obige System von Diffe- 
rentialgleichungen aber geht dies über in: 
da da en a on 
dx dw 
da dx d« dw 
ne 
...=o0 
Z B4 
dz es dy 

was in der That identisch ist mit der Differentialglei- 
chung 2. Wenn es also gelingt, das obige System 3. 
zu integriren, oder die Veränderlichen yxw... als 
Functionen von z daraus abzuleiten, so gelangt man 
in Folge des so eben nachgewiesenen Zusammenhangs 
auch zu dem Integral der partiellen Differentialglei- 
chung 1. Um zunächst y als Function von z darzu- 
stellen, eliminire man die übrigen abhängigen Veränder- 
lichen yx w... aus dem System 3. Diese Elimination 
kommt jedesmal dadurch zu Stande, dass man jede der 
n Gleichungen des Systems 3, n mal nach einander dif- 
ferentiirt. Indem man alsdann aus diesen n? Gleichungen 
die n — 1 übrigen abhängigen Veränderlichen und deren 
Differentialquotienten, also im Ganzen (n— 1) (n+1)= 
n?— 1 Grössen eliminirt, gelangt man jedenfalls zu 
einer Differentialgleichung der n‘" Ordnung von der 
Form: 
d’y 
dz" 

4. pP: =(, 
worin P und @ Functionen der beiden Veränderlichen 
: x - d 
z und y und der n— 1 Differentialquotienten I yY» 

dz 
2 n—1 
d’y d A 
Ce yı E (n—1) sind. 
dz? dz"- 
Kennt man nun das allgemeine Integral der Difte- 
rentialgleichung 4. mit seinen n willkürlichen Bestän- 
digen, so wird man dasselbe n — 1 mal nach einander 
differentiiren, um daraus mit Hülfe der vorhin erwähnten 
Differentialgleichungen, woraus die Gleichung 4. abge- 
leitet worden ist, die n — 1 Differentialquotienten y’ 
y’...y zu eliminiren. Auf diese Weise erhält 
man n verschiedene Gleichungen zwischen den n—+1 
Veränderlichen zy x w..., welche das allgemeine 
Integral des obigen Systems 3. darstellen. Indem man 
aus diesen n endlichen Gleichungen die n willkürlichen 
