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Beständigen a,b,e ... entwickelt, erhält man die 
obigen Formen: 
a=a,ß=b,y=e 
u. s. w., welche vorhin unmittelbar aus der partiellen 
Differentialgleichung 2. abgeleitet worden sind. Dies 
also ist jener andere Weg, den man bei der Bestimmung 
des allgemeinen Integrals der partiellen Differentialglei- 
chung 1. eingeschlagen hat. 
Mit vollem Recht betrachtet man das Problem der 
Integration als vereinfacht, wenn die Differentialglei- 
chung auf eine andere zurückgeführt ist, bei deren 
Integration die gesuchte Function von weniger Ver- 
änderlichen abhängt als vorher. Man hat daher vielfach 
der Meinung Raum gegeben, dass durch die Reduction 
der partiellen Differentialgleichung der ersten Ordnung 
mit n—+ 1 Veränderlichen auf eine Differentialgleichung 
der n‘“” Ordnung mit nur zwei Veränderlichen die Inte- 
gration der partiellen Differentialgleichung eigentlich 
abgethan sei. Denn da diese Reduction jederzeit möglich 
sei, so habe man es von nun an nur mit den Difte- 
rentialgleichungen höherer Ordnung mit nur zwei Ver- 
änderlichen zu thun. Allein diese Meinung ist sicherlich 
eine irrige. Der Zusammenhang zwischen dem Integral 
der partiellen Difierentialgleichung erster Ordnung und 
dem einer Differentialgleichung höherer Ordnung mit 
nur zwei Veränderlichen ist zuerst von Lagrange 
nachgewiesen worden, und wird jederzeit als eine sehr 
dankenswerthe Bereicherung der Analysis zu betrachten 
sein. Doch macht dieselbe auf eine andere Deutung 
Anspruch, als die, welche vorhin angegeben worden 
ist. Es schien mir leicht, dies in wenigen Worten 
darzulegen, und dies gab’ Veranlassung zu dem vor- 
liegenden Versuch. 
Ich fasse desshalb zunächst die Integration der Dif- 
ferentialgleichung der n“" Ordnung: 
4. Ey = Q 
mit den zwei Veränderlichen z und y näher in’s Auge. 
Man weiss, dass die allgemeine Integration nur durch 
die Bestimmung des ersten Integrals zu Stande kommt, 
oder derjenigen Differentialgleichung der n — 1" Ord- 
nung, durch deren einmalige Differentiation die Glei- 
chung 4. wieder entsteht. Nachdem man das erste 
Integral aufgefunden hat, kann man zum zweiten Inte- 
gral aufsteigen u. s. f., um schliesslich die endliche 
Gleichung zu erhalten; oder man kann auch die n ver- 
schiedenen ersten Integrale ableiten, da man durch die 
Elimination der n — 1 Differentialquotienten y', y“... 
y" auch wieder das allgemeine Integral in endlicher 
Form darstellt. Bezeichnet man das erste Integral durch 
@=a,wo a die willkürliche Beständige ist, so ent- 
steht durch die Differentiation: 
RE Ever, 
Man eliminire damit den Differentialquotienten y” 
aus der Gleichung 4. und man erhält: 

da 
« 1 d d \ 
eltern tert. )+02,=0 
dz dy y dyr=d 

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Daraus muss @ bestimmt werden; denn es gibt in 
der That kein anderes Mittel, welches hiervon wesent- 
lich abweicht, um zu dem ersten Integral zu gelangen. 
Die Gleichung 5. ist aber nichts anderes als eine partielle 
Differentialgleichung der ersten Ordnung mit n+1 
Veränderlichen. Denn ausser den beiden Veränder- 
lichen z und y finden noch die n — 1 Differentialquo- 
tienten y' y“.... y"” darin eine Stelle, welche bei 
der Gewinnung des ersten Integrals als unabhängige 
Veränderliche auftreten. Das erste Integral « kann 
demnach durchaus nicht anders gewonnen werden, als 
auch diejenigen Functionen, welche der ursprünglichen 
partiellen Differentialgleichung 2. genügen. Man irrt 
also, wenn man glaubt, da durch die Reduction von 
Lagrange die partielle Differentialgleichung mit n +1 
Veränderlichen auf eine Differentialeleichung mit nur 
zwei Veränderlichen zurückgeführt wird, dass es sich 
dann um die Bestimmung einer Function handle, welche 
von nur zwei Veränderlichen abhängig is. Man muss 
vielmehr die Gleichung 5. nur als eine Transformation 
der Gleichung 2. betrachten, da nämlich an die Stelle 
der Veränderlichen x, w.... die neuen Veränderlichen 
y, y" ... eingetreten sind. Es ist auch sonst kein 
Grund vorhanden, dass die Functionen der partiellen 
Ditfferentialgleichung 5. einfacher sich darstellen, oder 
leichter gewonnen werden sollten, als die der ursprüng- 
lichen partiellen Differentialgleichung 2., denn die er- 
wähnte Transformation steht in gar keinem Zusammen- 
hang mit der besonderen Beschaffenheit der Functionen; 
und doch wird eine Transformation immer nur dann 
der Ermittelung dieser Functionen Vorschub _ leisten, 
wenn dieselbe auf deren besondere Eigenthümlichkeiten 
sich stützt. Man möchte aber um so weniger veranlasst 
sein, die bezeichneten Transformationen durchzuführen, 
als dieselben allein schon schwierige und vielleicht un- 
ausführbare Rechnungen herbeiführen. 
Nach diesen Bemerkungen wird es wohl kaum mehr 
zweifelhaft sein, worin denn die eigentliche Leistung 
jener Reduetion von Lagrange bestehe. Wenn man 
die partielle Differentialgleichung 1. dadurch nicht auf 
eine Differentialgleichung der n“” Ordnung mit nur zwei 
Veränderlichen zurückführen soll, so wird man denn 
doch einen grossen Vortheil daraus ziehen bei der Lösung 
eines anderen Problems. Wenn nämlich das System der 
Gleichungen: 
a 
dz dz dz 

u. s. w. vorliegt, so braucht man nun nicht, um das 
allgemeine Integral darzustellen, den oben angedeuteten 
Weg zu verfolgen, man braucht also nicht jene weitläufi- 
gen Transformationen vorzunehmen, um so endlich zu 
der Differentialgleichung der n“” Ordnung 
4. Eyar—ı0 
zu gelangen. Nach Lagrange wird man vielmehr 
ohne alle weitere Rechnung jene partielle Differential- 
gleichung: 
ıg* 
