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Fläche B. Aus dieser Entstehungsart paralleler Flächen A, B er- 

 geben sich leicht Ausdrücke für ihre Differenz, so wie für den 

 zwischen ihnen liegenden Körperraum. Man denke sich für einen 

 Augenblick die gegebene Fläche A polyedrisch und lasse die Kugel 

 M auf ihrer convexen Seite rollen, so sieht man, dafs die Fläche i?, 

 so wie der zwischen beiden Flächen enthaltene Raum, aus folgen- 

 den Theilen bestehen: 



a) Während die Kugel auf der nämlichen Seitenfläche a von A 

 rollt, beschreibt ihr Mittelpunkt ein der a gleiches ebenes Vieleck 

 a^ in der Fläche jB, und der zwischen den Flächentheilen a und a, 

 befindliche Körperraum ist ein senkrechtes Prisma, dessen Inhalt 

 z=:ha. Die Summe aller solcher Vielecke a^ ist = A und die 

 Summe aller Prismen = hA. 



ß) So lange die Kugel eine utid dieselbe Kante «y von A berührt, 

 beschreibt ihr Mittelpunkt M ein Stück «y, von 2?, welches einer 

 geraden Cyllnderfläche angehört, die y zur Axe und h zum Radius 

 hat, und der zwischen y und y^ befindliche Körperraum ist ein 

 Ausschnitt c des Cylinders. Heifst der an der Kante y liegende 

 Nebenflächenwinkel (p, so ist y^ = y.hcp und c = ^y^ 'P' 

 Wird die Summe aller solcher Flächenstücke y^ durch Ä'und die 

 Summe aller Cylinderausschnitte c durch C bezeichnet, so ist K z=: 



h . X(y(p) und c=:-^h.K= -^h\ XCyf). 



y) So lange die Kugel die nämliche Ecke £ der polyedrlschen 

 Fläche A berührt, beschreibt ihr Mittelpunkt ein sphärisches Viel- 

 eck e^ in der Fläche B, welches so viele Seiten hat, als die Ecke E 

 Kanten, und welche Seiten beziehlich die an diesen Kanten liegen- 

 den Nebenflächenwinkel messen. Der zwischen der Ecke e und 

 dem Vielecke e, liegende Raum ist eine sogenannte Kugelpyramide 

 p^ deren Inhalt = —Äe,. Die Summe aller sphärischen Vielecke 

 e, heifse E und die Summe der Pyramiden p sei P, so ist E=z'2,e^ 

 und/>= i-h.Xe, —-{hE. 



Hiernach hat man für die Fläche B und für den zwischen bei- 

 den Flächen A und B liegenden Körperraum / folgende Ausdrücke: 



1. B = A + hX(y(p) + 5e, = ^ + Ä H- £, 



2. / = A^ + -^h^Ziycp) + i-hXe, =zhA+ -^hK + -^hE; 



