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durch Multiplication einer unendlichen Anzahl von Faktortn ent- 

 stehen. Diese neuen Reihen unterscheiden sich jedoch darin von den 

 Eulerschen, dal's in die Faktoren, von denen jeder ein Glied der 

 Reihe der Primzahlen enthält, noch Potenzen von Wurzeln der 

 Einheit eingehen, deren Exponenten mit den sogenannten Indices 

 der Primzahl zusammenfallen, wenn diese mit allen übrigen auf ein 

 System primitiver Wurzeln bezogen wird. Sobald man den Weg, 

 worüber wir so eben einige Andeutungen gegeben haben, betre- 

 ten hat, scheint sich der Beweis mit der gröfslen Leichtigkeit, und 

 so zu sagen, ganz von selbst zu gestalten, allein bei aufmerksamer 

 Betrachtung bemerkt man eine Schwierigkeit, ohne deren Beseiti- 

 gung das Verfahren ganz illusorisch werden, oder doch nur auf 

 besondere Fälle anwendbar sein würde. Diese Schwierigkeit be- 

 steht In der für den Erfolg unerläfsllchen Nachweisung, dafs die 

 Summen gewisser Reihen, deren Convergenz leicht einzusehen Ist, 

 von der Null verschieden sind, und hat nicht etwa, wie man 

 es zunächst vermuthen sollte, Ihren Grund In der Unmöglichkeit 

 die Summation auszuführen. Diese Operation Ist vielmehr in allen 

 Fällen leicht zu bewerkstelligen, allein der endliche Ausdruck, 

 welchen man dadurch erhält, gewährt keine Erleichterung für die 

 geforderte Nachweisung und es ist Im Allgemeinen eben so schwer 

 aus der Summe in endlicher Form zu erkennen, dafs sie von Null 

 verschieden Ist, als dies bei der ursprünglichen Reihe der Fall war. 

 Nach mancherlei fruchtlosen Versuchen war es zwar gelun- 

 gen, die erwähnte Schwierigkeit vollständig zu überwinden; doch 

 waren die Betrachtungen, zu welchen man seine Zuflucht zu neh- 

 men genöthlgt war, so compliclrt und Indirekt, dafs sie nur wenig 

 befriedigen konnten und die Auffindung eines kürzern und der 

 Natur der Sache mehr entsprechenden Verfahrens sehr wünschens- 

 werth machen mufsten. Wiederholte auf diesen Gegenstand ge- 

 richtete Bemühungen halten denn auch endlich den beabsichtigten 

 Erfolg, und führten zu dem unerwarteten Resultate, dafs die er- 

 wähnten Reihen mit einer Aufgabe zusammenhängen, deren Lösung 

 in einem der wichtigsten Theilc der Zahlenlehre eine längst ge- 

 fühlte Lücke ausfüllt. Die Theorie, wovon wir reden, ist die der 

 quadratischen Formen, welche zuerst von Lagrange begründet, 



