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später durct Legendre und besonders durch Gaufs zu einem 

 hohen Grade der Ausbildung gelangt ist. Bekanntlich sind die 

 Eigenschaften solcher Formen hauptsächlich von einer durch ihre 

 Coefficienten bestimmten ganzen Zahl, welche die Determinante 

 der Form heilst, abhängig, und Lagrange hat gezeigt, dafs jeder 

 Determinante, sie sei positiv oder negativ, nur eine endliche An- 

 zahl wesentlich verschiedener Formen entspricht, so wie derselbe 

 grofse Geometer auch das Verfahren angegeben hat, nach welchem 

 sich für jede numerisch gegebene Determinante diese wesentlich 

 verschiedenen Formen darstellen lassen. Die Frage nach dem all- 

 gemeinen Zusammenhange zwischen der Anzahl der Formen und der 

 Determinante wird jedoch durch die Kenntnifs dieses nur In be- 

 stimmten Fällen auszuführenden Verfahrens nicht erledigt und 

 diese Frage ist es nun, welche in den oben erwähnten Untersu- 

 chungen ihre Lösung erhält. 



Von den daraus hervorgehenden Resultaten, welche an einem 

 andern Orte ausführlich entwickelt worden sind (*), ist für unsern 

 Zweck nur zu erwähnen, dafs die Abhängigkeit der Anzahl der 

 Formen von der Determinante sich in einer ganz verschiedenen 

 Weise darstellt, je nachdem die Determinante negativ oder positiv 

 ist. Im ersteren Falle ist die Abhängigkeit rein arithmetischer 

 Natur, während der Ausdruck für die Anzahl der Formen im zwei- 

 ten Falle gewisse Verbindungen der Coefficienten der Hülfsgiei- 

 chungen enthält, welche bei der Kreistheilung vorkommen. 



Was nun die neuen Untersuchungen betrifft, deren ersten 

 Theil die der Akademie vorgelegte Abhandlung enthält, so haben 

 diese den Zweck, die eben angeführten Resultate auf die Theorie 

 der complexen Zahlen auszudehnen. Den Gedanken, complexe 

 ganze Zahlen, d.h. Ausdrücke von der Form t-i-u]/ — 1, in die 

 höhere Arithmetik einzuführen, verdankt man dem berühmten 

 Verfasser der Disq. arith., welcher auf diese Erweiterung durch 

 seine Untersuchungen über die Theorie der biquadratischen Reste 

 geführt worden ist, deren Fundamentaltheoreme nur dann in ihrer 

 höchsten Einfachheit und ganzen Schönheit erscheinen, wenn man 



(*) Crellc'i Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd. XIX. und XXI. 



