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 Vorsitzender Sekretär: Hr. v. Raum er. 



11. Oktober. Sitzung der physikalisch -ma- 

 thematischen Klasse. 



Hr. Lejeune DIrichlet thellte einige Resultate sei- 

 ner Untersuchungen über eine Klasse homogener 

 Funktionen des dritten und der höheren Grade mit. 



Die homogenen Funktionen mit ganzzahligen Coefficienten, 

 Worauf sich diese Untersuchungen beziehen, sind diejenigen be- 

 sonderen Funktionen jedes Grades, welche eine ihrem Grade 

 gleiche Anzahl von unbestimmten ganzen Zahlen enthalten und 

 zugleich in lineare Faktoren mit irrationalen Coefficienten zer- 

 legt werden können. Für den zweiten Grad fallen dieselben 

 iiilt den so vielfach behandelten binären quadratischen For- 

 men zusammen, und wie die Theorie dieser Formen einen der 

 fruchtbarsten Theile der Arithmetik bildet, so kommen auch den 

 analogen Ausdrücken von höherem Grade eine Menge der in- 

 teressantesten Eigenschaften zu, deren Erforschung nicht nur 

 der Theorie der Zahlen , sondern auch anderen damit zusam- 

 menhangenden Disciplinen bedeutende Erweiterungen zu verspre- 

 chen scheint. Von den zahlreichen Untersuchungen, wozu dieser 

 Gegenstand Veranlassung giebt, betrifft die der Klasse gemachte 

 Mittheilung nur die Aufgabe: „Alle Darstellungen einer gegebe- 

 „nen Zahl durch eine gegebene Funktion der genannten Art auf- 

 „zufinden, oder sich doch zu überzeugen, dafs die gegebene Zahl 

 „einer solchen Darstellung nicht fähig ist". 



Um die Betrachtungen, worauf die Lösung der eben ausge- 

 sprochenen Frage beruht, in das gehörige Licht zu setzen, wird 

 es zweckmäfsig sein, dieselben zunächst auf den zweiten Grad 

 anzuwenden, obgleich die Aufgabe für diesen Fall längst durch 

 andere Methoden ihre vollständige Erledigung gefunden hat. 



Für diesen Fall verlangt die Aufgabe, dafs man alle Auflö- 

 sungen der unbestimmten Gleichung 



ax 



.2. 



■ 2bxy-i-cy" = m (1) 



darstelle, in welcher Gleichung b^ — ac = D als positiv und kei- 

 nem Quadrate gleich vorausgesetzt werden kann, da sonst die 

 Frage gar keine Schwierigkeit darbietet. Die Methode, welche 



