281 



wir anzudeuten versuchen wollen, macht die Lösung dieses Pro*- 

 blems von der Kenntnifs irgend zweier Werthe abhängig, welche 

 der bekanntlich immer möglichen Gleichung 



t-^Du^ = 1 (2) 



genügen. Sind T, U zwei solche Werthe, (die wir beide positiv 

 voraussetzen können) und hätte man andrerseits irgend eine Auf- 

 lösung (JT, Y) von (1), so würde man nach einer von Euler ge- 

 machten Bemerkung unzählige neue Auflösungen daraus ableiten 

 können, welche durch die Formel 



ax^{b^VD)y = ±(aX'i-[b^V3']Y)(T-i-UV3y (3) 

 besiimmt werden, worin n irgend eine positive oder negative 

 ganze Zahl bezeichnet und nach geschehener Entwickelung die ver- 

 tionaien Theile und die Coefficienten von Vd auf beiden Seiten 

 besonders gleich zu setzen sind. Wie wichtig die von Euler ge- 

 machte Bemerkung auch sei, so begründet dieselbe doch noch kei- 

 neswegs eine vollständige Zurückführung der Gleichung (1) auf 

 die (2), da dieselbe kein Mittel an die Hand giebt, eine erste 

 Auflösung (X, Y) zu finden, und andrerseits, wie Lagrange ge- 

 zeigt hat, der Ausdruck (3) nicht nothwendig alle Auflösungen 

 von (1) zu enthalten braucht, selbst wenn man für T, U die kleia- 

 sten der Gleichung (2) genügenden Werthe wählt. 



Um nun die oben verlangte vollständige Zurückführung zu 

 bewerkstelligen, bemerke man, dafs die in (3) enthaltenen Auflösun- 

 gen eine Gruppe bilden, welche dieselben Auflösungen zu enthalten 

 fortfahren wird, wenn man statt der Auflösung (X, Y) irgend 

 eine der daraus ableitbaren einführt. Es folgt hieraus, dafs die 

 Gesammthelt aller Auflösungen von (1) in Gruppen dieser Art 

 verlhellt werden kann, und dafs es zur vollständigen Lösung 

 unserer Aufgabe nur darauf ankommen, wird, aus jeder Gruppe 

 eine Auflösung zu kennen, da alsdann die ganze Gruppe selbst 

 durch (3) gegeben sein wird. Nun ist aber aus (3) klar, dafs in 

 jeder Gruppe der Ausdruck ax -f- (5 -f-l^-D)/ nothwendig einmal und 

 nur einmal einen Werth annimmt, der zwischen die beiden Grenien 

 iTundo-(7'-f-C^yz>) mit Ausschlufs von einer derselben fällt, wenn 

 a- einen beliebigen positiven oder negativen Werth bezeichnet. 

 Nimmt man z. B. o- positiv, so giebt es also in jeder Gruppe eine 

 und nur eine Auflösung von solcher Beschaffenheit dafs 



<T<Zax-h(b-h-V^)y '1 T(T'hUVD). (4) 



