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Mit diesem Resultate ist nun die Frage sogleich erledigt, da 

 man leicht durch eine endliche Anzahl von Versuchen alle Auf- 

 lösungen von ( 1 ), welche diesen Ungleichheiten genügen, finden, 

 oder doch sich überzeugen kann, dafs keine solche existirt. Man 

 sieht die Möglichkeit hiervon sogleich, wenn man der Sache eine 

 geometrische Einkleidung glebt. Als Gleichung einer auf recht- 

 winklige Coordinaten bezogenen Curve betrachtet, stellt (1) eine 

 Hyperbel dar, von welcher nur ein endlicher Bogen den Bedin- 

 gungen (4) genügt, so dafs man also in der That leicht alle in- 

 nerhalb dieses Bogens liegenden Punkte finden kann, deren Co- 

 ordinaten ganze Zahlen sind. Jeder dieser Punkte bestimmt dann 

 eine Gruppe von Auflösungen für (1) und, falls sich keiner fin- 

 det, ist die Unmöglichkeit dieser Gleichung dargethan. 



Wie man sieht, ist der Erfolg des eben beschriebenen Ver- 

 fahrens von der Wahl der Auflösung (T, U), welche dabei als 

 Ausgangspunkt dient, ganz unabhängig. Die Rechnung wird je- 

 doch am kürzesten, wenn diese Auflösung die in den kleinsten 

 Zahlen ausgedrückte ist, aus welcher bekanntlich alle übrigen 

 durch Potenziren erhalten werden können. Wählt man eine die- 

 ser abgeleiteten, so hat dies keinen andern Übelstand, als dafs die 

 Anzahl der Gruppen im Endresultat dadurch vergröfsert wird. 



Indem wir zum dritten Grade übergehen, werden wir der 

 Kürze wegen und um das Schreiben zu complicirter Ausdrücke 

 zu vermeiden, nicht die allgemeinste Funktion der oben näher 

 bezeichneten Art betrachten, sondern uns auf diejenige besondere 

 dritten Grades beschränken, welche zu der allgemeinsten dieses 

 Grades in ähnlicher Beziehung steht, wie sich für den zweiten Grad 

 die sogenannte Hauptform x^ — Z|/^ zu der allgemeinen Form 

 ax'^-t-ibjTj-i-cj-^ derselben Determinante verhält. Ist 

 s^-l-as^-i-bs-i-c = (5) 



eine cubische Gleichung, deren Coefficienten ganze Zahlen sind, 

 und welche durch keinen rationalen Faktor theilbar ist, und be- 

 zeichnen 



<*» ßi 7, 

 die Wurzeln derselben, so ist der zu betrachtende Ausdruck 



F(x,y,z) 

 das Produkt von x-i-oi,j-i-et,''z und zwei ähnlichen aus ß, y ge- 



