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fi Es Ist leicht zu übersehen, dafs die Gleichungen (17) und 

 (19), welche zunächst nur eine Transformation der Grenze von 

 der Reihe (12) enthalten, die vollständige Summation der Reihe 

 (11), Tür jene näher bestimmten Formen von^(z) und besondern 

 Werthe von x, in allen denjenigen Fällen darstellen wird, wo die 

 Anzahl der Wurzeln der Gleichungen 



begrenzt, also eine jede dieser Funktionen selbst, wie sich aus den 

 obigen Voraussetzungen mit Leichtigkeit ergibt, ganz Ist. Und 

 dies vorausgesetzt, folgt weiter, dafs die Convergenz der Reihe 

 (17) von der durch (15) bestimmten Gröfse q abhängig Ist: die- 

 selbe ist convergirend, wenn q angebbar, oder Null ist, — dl- 

 vergirend in allen übrigen Fällen. Die in (19) enthaltene 

 unendliche Reihe ist unendlich klein - werdend, wofern nur 

 a-t-ß>-2X ist. Ist aber a,-hß = 2X, so bildet hiervon ledig- 

 lich der besondere Werth X von x eine Ausnahme; und für die- 

 sen Fall ist es die Gröfse 



■welche über die Convergenz der betreffenden Reihe entscheidet. 

 Ferner folgt noch, dafs durch die obigen Reihen nur Insofern 

 die, den In ihnen enthaltenen bestimmten Integralen gemeinschaft- 

 liche Funktion /(u), innerhalb des Intervalls von zwei reellen be- 

 sondern Werthen xg und X von ,u, dargestellt wird, als /(/^), 

 innerhalb desselben Intervalls, contiuuirlich ist, die Residuen- 

 Summe, auf der linken Seite der Gleichheitszeichen von den be- 

 treffenden Gleichungen befindlich. Null und q = — 1 wird. Aus 

 der Verbindung der Gleichungen (5) und (15), mit der Annahme: 

 dafs •d'(f) und 4'i(^) beziehungsweise ^anze Funktionen von ^ 

 seien, ergibt sich 



„_7; («+/3)<^(->» 



'/'t(— 's") 

 folglich, damit g = —1 sei, 



Insofern auch die Reihe von (19) für u+ß =s2X xmA x 

 I* i^ convergiren soll, folgt endlich noch hinsichtlich der Bezie- 



