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Um diesen eben so einfachen als fruchtbaren Satz zu bewei- 

 sen, wird es genügen nachzuweisen, dafs ein System von der 

 verlangten Beschaffenheit gefunden werden kann, für welches au- 

 fserdem der numerische Werth von (1) kleiner als eine vorher 

 bestimmte Gröfse o ist. Um ein solches zu erhalten, nehme man 

 eine positive ganze Zahl n, welche die Bedingung r;— ^<§ er- 

 füllt, und lege in dem Ausdrucke (1) jeder der Zahlen a;,,a-2... 

 x„ alle in der Reihe 



— n, — (« — l), . . . . — 1, 0, 1 ... , n — 1, n, 



enthaltenen Werthe bei. Bestimmt man nun für jede dieser 

 (2« -f- l)" Verbindungen Xg so dafs (l) einen nicht negativen un- 

 ter der Einheit liegenden Werth erhält, so hat man (2n-Jhl)"' 

 ächte Brüche, von denen nothwendig wenigstens zwei in dem- 

 selben der durch die Werthe 



1 2 (g»)"-« . 



"' {2,1)"'* (2W)'»' (2«)"- ' '' 



begrenzten (2«)"" Intervalle liegen müssen. Zieht man zwei Aus- 

 drücke, denen solche Werthe entsprechen, von einander ab, so 

 erhält man einen neuen Ausdruck von der Form (1), in welchem 

 offenbar 1° die Zahlen x,, xg, . . . ic,„ nicht alle zugleich ver- 

 schwinden, 2° keine dieser Zahlen abgesehen vom Zeichen 2« 

 übertrifft, und dessen numerischer Werth endlich 3° kleiner als 



; — rrr < S und also auch kleiner als—- ist. 



{in}'" s'" 



Hieraus folgt dann sogleich die Existenz von unendlich vie- 

 len Systemen (2), welche der Aussage des Satzes entsprechen. 

 In der Thal, wie viele solcher Systeme man auch als schon be- 

 kannt voraussetzen möge, so wird es, da für keines derselben der 

 Ausdruck (1) verschwindet, nach dem eben Gesagten möglich sein, 

 ein neues von den gegebenen verschiedenes zu finden, indem man 

 zu diesem Zwecke nur für 8 den kleinsten Zahlenwerth des Aus- 

 drucks (1) zu wählen braucht, welcher einem der schon bekann- 

 ten Systeme entspricht. 



Es glebt analoge Sätze für zwei oder mehr simultane 

 Ausdrücke der Form (1), welche durch dieselben einfachen Be- 

 trachtungen erwiesen werden können und von welchem der auf 

 zwei bezügliche so lautet: 



