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„Sind «,, «2, . . . «„ und /3,, /Bj, . . . /3„ (wo /«>.2) zwei 

 Reiiien gegebener Werthe von solcher Beschaffenheit, dafs die 

 Summen 



«,,»;, -H rtj.ra-H... 4- «„x„ (3), /3j x, -f-Z^j^a -f-...-f-/p„a;„ (4), 

 nur In dem Falle gleichzeitig verschwinden können, wenn x,= 

 ^2 = . . . = x„ = 0, so giebt es Immer unendlich viele Systeme x, , 

 a;2,...x„ nicht gleichzeitig verschwindender Zahlen, für welche 

 (3) und (4) resp. numerisch kleiner sind als 



— — und ; — , 



in welchen Ausdrücken A und i? bestimmte von «,,rt2,...«m, 

 ß,^ ß2i ' • • ßm abhängende und a eine beliebige zwischen und 

 m — 2 liegende Constante bezeichnen." 



Ein für die Anwendungen auf die Zahlentheorie beson- 

 ders wichtiger Fall ist der, wo die Exponenten a und m — 2 — a 



A 

 einander gleich genommen werden und die Ausdrücke In 



una — - — übergehen. ^^ 



S'2 ' 



Wir fügen noch hinzu, dafs diese Sätze und ihre Beweise 

 mit geringen Modifikationen auf complexe Zahlen ausgedehnt 

 werden können. 



Vermittelst der eben erhaltenen Resultate läfst sich das 

 Lemma, worauf die Verallgemeinerung der F er matschen Glei- 

 chung i^ — Du^ = l beruht, ganz elementar beweisen (*), und 

 man sieht zugleich dafs das Lemma, so wie der darauf gegrün- 

 dete Satz noch richtig bleibt, wenn die algebraische Gleichung 

 j" -H aj"~ '-+-... -f-yj -H A = 0, nur Imaginäre Wurzeln hat, 

 vorausgesetzt dafs alsdann n gröfser als 2 sei. Die In Rede ste- 

 hende Erweiterung fordert den Nachweis, dafs es Immer wenig- 

 stens eine ganze Zahl m glebt, für welche die unbestimmte Glei- 

 chung F (x;f, z, . . .) = m unendlich viele Auflösungen zuläfst, 

 und dies folgt mit der gröfsten Leichtigkeit aus dem ersten oder 

 dem erwähnten besondern Falle des zweiten der obigen Sätze, 

 je nachdem sich unter den Wurzeln der Gleichung wenigstens 

 eine reelle befindet oder diese alle Imaginär sind. 



(*) Compte rcadu de» seaaces de rAcadcmie des scieocet de Pari«, Premier scraesl. 1S40, 

 p*g. 236. 



