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liehen Zwillingswinkels am Octaeder (des Spinells z. B.) 

 zu 180°. 



Für den Ausdruck der Ecke des regulären Tetraeders 



y 2 

 findet sich, tang = — , sin : cos : rad = |/2 : 5 : 3|/3 



für die Summe der 4 Ecken des regulären Tetraeders also 



cos = — = ? -^, oder sin: cos: rad = 20.23V2:329:729. 



729 9 



Die Summe von 3 Ecken des regulären Octaeders ist das 

 Complement dieses Werthes; denn wenn O die Octaederecke, 

 T die Tetraederecke heifst, so ist 



6 -I- 8 7'= tot. sp. = 360° 

 also ZO -h kT = ^LiE: = 180° 



2 



folglich für 3 0, cos = — — . 



Eben so folgt 2 T -f- \ O = 90° = Würfelkante 

 T -f- \ O = Würfelecke 

 die Octaederecke wird aber durch zwei durch gegenüberliegende 

 ihrer Kanten gelegte Ebnen in gleiche Viertel (wie durch eine 

 derselben in Hälften) getlieilt; 3 solche Viertel einer Octaeder- 

 ecke also und eine Tetraederecke zusammen machen eine Würfel- 

 ecke aus. 



Ferner ist die Octaederkante o = 2 O •+- 2 T 

 die Tetraederkante t = O -|- IT 

 daher auch O = o — t, u. s. f. 



Die zweierlei Ecken des Granatdodekaeders haben die 

 interessante Eigenschaft, dafs jede der 8 stumpfen Ecken 

 = 2 Würfelecken = 90°, und jede der 6 scharfen Ecken 

 e= 60° = — Raumestotalität = -|- Würfelecke ist; daher die 

 Summe seiner sämmtlichen Ecken = (2 -f- 1) 360° = 3 Rau- 

 mestotalitäten; die scharfe Ecke des Granatoeders also auch 

 = O -f- ■— T = 60°; die Tetraederecke aber, so wie die Wür- 

 felecke in 3 gleiche Theile zu zerfallen, bietet sich von selbst dar. 



Der Vortragende entwickelte ähnliche Lehrsätze über die 

 Werthe der Ecken am Quadratoctaeder, am Rhombenoctaeder, am 

 Rhomboeder, am Dihexaeder. So ist für die halbe Endspitze 



