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Bei jedem Octaeder (doppelt 4seitiger Pyramide mit paral- 

 lelen Flächen) ist die Summe der 12 Kanten = 3 X 360° -+- 

 der Summe der Ecken. 



Bei dem Parallelepiped, wo die Summe der Kanten jeder- 

 zeit = 3 X 360°, die Summe der Ecken = 360° ist, kann man 

 ebenfalls sagen: die Summe seiner Kanten ist = 2 »360° •+■ die 

 Summe seiner Ecken; und man hat dann für das 

 Tetraeder, die Summe derKanten= 360°-f-dieSummederEcken 

 Parallelepiped,« n ■>■> n = 2«360°-f- « « « « 

 Octaeder, r> « n « = 3*360°-f- H r> n n 



Durch diesen Vortrag veranlafst, gelang es Hrn. Steiner, 

 kurz darauf folgenden allgemeinen Satz aufzufinden: 



«Man denke sich ein beliebiges Polyeder, bezeichne die An- 

 nzahl seiner dreikantigen Ecken durch a, seiner vierkantigen durch 

 r>b, seiner fünfkantigen durch c, seiner sechskantigen durch d, 

 nu. s. w., ferner die Summe aller Kanten durch Xk, und die 

 «Summe aller Ecken durch 2e, so erhält man: 



Zk = 2e -H (a -t- 26 •+- 3c -f- kd ) 90°.« 



Als Nachtrag zu einer früheren Abhandlung von 1829 be- 

 merkte Hr. Weifs in der Gesammtsitzung vom 12. Januar u. a., 

 dafs der Ausdruck eines dort erörterten eigenthümlichen Falles 

 vom Dihexaeder, für welches er a. a. O. den Ausdruck gefunden 

 hatte: die Tangente des Neigungswinkels seiner Fläche gegen die 

 Axe sey = y—, 



oder für diesen Neigungswinkel sey sin: cos = ]/3:]/2, 

 in folgender noch einfacherer Gestalt gegeben werden könne: 

 für den nemlichen Winkel ist 



cos = j/3 — 1. 

 Es giebt nemlich unter den verschiedenen möglichen Dihexaedern 

 tbells solche, deren ebner Endspitzenwinkel gröfser ist als der 

 Neigungswinkel der Fläche gegen die Axe, wie das des Quarzes 

 selbst ein solches ist, theils andere, deren ebner Endspitzenwin- 

 kel der kleinere von beiden ist. Das erstere hat etwas über- 

 raschendes, weil, während die Beihe der Dihexaeder vom schärf- 

 sten zum stumpfsten in der Neigung der Fläche gegen die Axe 

 von 0° bis 90° zunimmt, der ebne Endspitzenwinkel nur von 

 0° bis 60° steigt, also die Vermutbung nahe läge, dafs er 



