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die Summe der Residuen von der Function (4) ist, denjenigen 

 Wurzeln der Gleichung (2) entsprechend, deren Zahlwerthe eben- 

 falls nicht gröfser als r m sind. Durch die Gleichung (1) wird 

 diese Grenzbestimmung auf die von zwei andern Reihen zurück- 

 geführt, auf die von einer Summenreihe, deren allgemeines Glied 

 die Summe von Residuen ist, die den Wurzeln der Gleichung 

 (5) angehören, und auf die von einer Reihe, deren allgemeines 

 Glied durch das bestimmte Integral 



s: 



y$?<A*H 



in Verbindung mit der Gleichung (3) bestimmt wird. 



Die erstere dieser beiden Restimmungen füllt mit der frag- 

 lichen unter denselben Hauptbegriff und unterscheidet sich von 

 dieser nur in Ansehung der Gleichung (5), rücksichtlich deren 

 Wurzeln die Residuen bestimmt werden. Die zweite Restimmung 

 fällt nicht mehr unter die Form der fraglichen, sondern unter 

 die des Grenzwerthes eines bestimmten Integrals mit einer, als 

 unendlich werdend gedachten, Constanten. 



Wie leicht zu übersehen, folgt hieraus, dafs es, damit durch 

 die Gleichung (1) eine unmittelbare Lösung der in Rede stehen- 

 den Aufgabe bewirkt werde, nothwendig und hinreichend ist, 

 dafs die Funktionen X(z) und F(z) in einer solchen Reziehung 

 zu einander stehen 



1) dafs die Gleichung (5) entweder keine Wurzeln, oder nur 

 eine begrenzte Anzahl derselben gestatte; 



2) dafs der Ausdruck 



(6, ,= ^f\.^(< )dp 



einer, von der des Grenzwerthes unabhängigen Restimmung fä- 

 hig sei. 



Die erste dieser beiden Redingungen als erfüllt vorausgesetzt, 

 kommt es also noch darauf an, die näheren Restimmungen zu 

 ermitteln, vermöge welcher auch der zweiten entsprochen werde. 



Sieben Hauptfälle lassen sich hier bezeichnen, in denen die 

 geforderte Transformation gewonnen werden kann. Der erste 

 Hauptfall ist der, wo die Funktion 



< 7 > -?$*« 



