94 



23. März. Gesammtsitzung der Akademie. 



Hr. Crelle las über Anwendungen der Facultäten- 

 Theorie und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf 

 die Binom ial-Coefficienten. 



In der Einleitung der Abhandlung erörtert zuerst der Ver- 

 fasser von Neuem die von ihm schon früher aufgestellte Ansicht, 

 dafs die allgemeine Taylorsche Reihe 



F(x+k) =Fx+±A +e Fx+W^Al F x + k(k - e)(k r 2e) Al e F. 



^-o(j-«).:.(Hh)^ Fx 



2.3.4 .. . pe M ■*■* 



k(k-e)(k-2e)...(k- fie) F(x + k)-Fk 

 2.3.4...pe'* +e k ' 



die in dem besonderen Falle, wo die willkührliche Gröfsc e 

 so angenommen wird, dafs k ein ganzzaliges Vielfache davon 

 ausmacht, nichts anders ist, als der gewöhnliche Ausdruck des letz- 

 ten Gliedes der Reihe Fx, F(x-t-e), F(x -h 2e) . . . . F(x -+• k) 

 durch das erste Glied und durch die wiederholten Differenzen 

 der Glieder, gleichwohl in ihrer Allgemeinheit sogar ein noch 

 allgemeinerer und tieferer Fundamentalsatz für die gesammte Ana- 

 lysis zu sein scheine, als die sogenannte besondere Taylorsche 

 Reihe 



jFTa: +k) = Fx -h kdFx + — d 2 Fx + — d 3 Fx -+- -^- d k Fx .. . , 



2 2.3 2.3.1 



welche, wie z.B. Lagrange gezeigt hat, die Grundformel für 

 die Differential- und Integralrechnung ist, aber in der That nur 

 als ein einzelner besonderer Fall in der obigen allgemeinen Reihe 

 sich findet, indem sie daraus hervorgeht, wenn man die willkühr- 

 liche Gröfse e gleich Null setzt. Die allgemeine Taylorsche Reihe 

 scheint mehrere Fälle in der Analysis mit Leichtigkeit zu umfas- 

 sen, für welche die besondere Reihe weniger passend ist. 



Sodann erörtert der Verfasser von Neuem die Ansicht, 

 welche er in seinen früheren Aufsätzen über Facultäten und an- 

 dere analytische Aufgaben, so wie in seinem Lehrbuch der Arith- 

 metik und Algebra aufgestellt und weiter verfolgt und ausgeführt 

 hat, dafs es bei der Untersuchung und Entwickelung von Func- 



