96 



_ x{x — 1) (x — 2) (x — 3) . . . (x — p + 1) 



sondern vielmehr, allgemeiner, als den Quotienten der beiden Fa- 

 cultäten (x, — e) m und (e,-f-e) m , also als 



was sich aut 



^ = Cr»- 1 )" /^\ m 



reducirt und wo nun der Zeiger m nicht mehr nothwendig eine 

 ganze positive Zahl ist, sondern eine ganz beliebige Zahl sein 

 kann. Dieses ist wieder eine Ausdehnung des einem Gegenstande 

 für einen bestimmten besonderen Fall gegebenen Namens auf das 

 Allgemeine; ahnlich wie bei den Potenzen und den Facultäten. 



In diesem Sinne läfst sich dann die allgemeine Taylorsche Reihe, 

 nebst der Facultäten -Theorie, auf die Binomial-Coefficienten, 

 die auf die obige Weise Quotienten zweier Facultäten sind, 

 wie folgt anwenden. 



Man kann für die allgemeine Taylorsche Reihe überhaupt eben 

 sowohl Fx = x m , als Fx = m x 



setzen, nemlich ebensowohl die Basis x des Binomial - Cocffi- 

 cienten (den Exponenten der Potenz, welcher der Coefficient an- 

 gehört), als auch seinen Zeiger sich verändern lassen. 



Für die daraus zu ziehenden Entwickelungen kann man zu- 

 nächst die allgemeine Taylorsche Reihe unmittelbar, so wie sie ist, 

 benutzen; was dann also (x -f- k) m und m x+i geben würde. Es 

 läfst sich aber auch aus der Taylorseben Reihe selbst, weiter 

 erst ein eben so allgemeiner Ausdruck der Differenzen beliebiger 

 Ordnungen A£. Fx der Glieder der Reihe Fx, F(x-+-e), F(x-\-2e), 

 F(x -f- 3e) . . . F(x ■+■ ixe) durch diese Glieder, und zwar mit Hülfe 

 von Sätzen über die Binomial-Coefficienten, die aus der ersten An- 

 wendung derTaylorschen Reihe selbst auf jene Coefficienten erlangt 

 werden, aufstellen, und dieser allgemeine Satz läfst sich dann seiner- 

 seits wieder auf die Binomial-Coefficienten anwenden^ Ferner läfst 

 sich aus der Taylorschen Reihe noch eine andere allgemeine Glei- 

 chung, nicht sowohl zwischen der einzelnen Differenz A^Fx 

 und den Gliedern der Reihe Fx, F(x-f-e), F(x ■+- 2e) . . . ., als 

 vielmehr zwischen jener Differenz und den darauf folgen- 



