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den Differenzen und den Reihengliedern aufstellen; welcher allge- 

 meine Ausdruck wieder auf die Binomial-Coefficienten Anwen- 

 dung findet. Sodann läfst sich a priori, durch ein Verfahren, 

 ganz ähnlich dem, welches die allgemeine Taylorsche Reihe giebt, 

 ein eben so allgemeiner Ausdruck aufstellen, welcher F(x -f- Ar), 

 nichtsowohl durch Fx und die wiederholten Differenzen 

 A+, Fx, &+, Fx . . . , sondern durch Fx und die wiederholten 

 Summen X +e Fx, X +t Fx... giebt, wo zunächst X +l .Fx die 

 Summe F(x -f- e) ■+■ Fx bedeutet. Er ist folgender: 



_, ,.r * *Hk-e) , k(k-e)(k-2e) 

 F(x + k) 1 — 2 H 2 Z -~— ; — 2 3 -i '-*-: ' .... 



± ,„ k(k-e)(k-2e)...(k-(ti-t ))e-l 



8.3.4... f»** J 



= Fx-—* Fx i, ^- f ) v« Fx ^-^- 2e )v3 «... 

 ^ A-(A- e )(A--2 e )...(A: -fr-i) e ) V(t 



~ 2.3.4...^ " + ' '* 



^ *(* - e)(k - .-e) . . . k - fr - i)e) { F(x + k)-Fx \ 

 ~ a.3.4... H e" ^ ~~ ^^ V * ')' 



Dieser Ausdruck läfst sich seinerseits auf die Binomial-Coeffi- 

 eienten anwenden. Aber aus dem Summen -Ausdruck lassen sich 

 auch wieder, wie aus dem Differenzen -Ausdruck (der allgemei- 

 nen Taylorschen Reihe), umgekehrt Gleichungen zwischen den 

 Gliedern der Reihe Fx, F(x ■+- e), F(x ■+■ 2e) . . . und entweder 

 einer einzelnen beliebigen wiederholten Summe, oder einer sol- 

 chen zugleich mit den darauf folgenden wiederholten Summen, 

 aufstellen; und auch diese allgemeinen Reihen lassen sich auf die 

 Rinomial- Coefficienten anwenden. 



So gehen aus der Anwendung der verschiedenen allgemei- 

 nen Entwickelungs -Ausdrücke auf die Binomial-Coefficienten 

 mannich faltige Ausdrücke für diese Coefficienten hervor, und es ver- 

 größert sich die Mannichfaltigkeit noch dadurch, dafs die in den 

 Entwickelungs -Ausdrücken vorkommende willkührliche Gröfse 

 e auch mit dem entgegengesetzten Zeichen genommen werden 

 kann. 



In der vorliegenden Abhandlung wird nur zunächst der ein- 

 fachste Fall weiter ausgeführt, nemlich der Fall, wenn der Z ei- 



