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ger des zu entwickelnden Binomial-Coefficienten eine ganze 

 positive Zahl ist, also der Fall der eigentlich sogenannten 

 Binomial-Coefficienten, die nur Quotienten zweier Factori- 

 ellen (nicht Facultäten) sind, und hiervon auch wieder nur der 

 einfachste Fall, in welchem die willkührliche Gröfse e in den 

 Entwickelungs-Ausdrücken gleich 1 gesetzt wird. In diesen ein- 

 fachsten Fällen ergeben sich fast lauter geschlossene Ausdrücke; 

 besonders dann aus den allgemeinen Differenzen- Ausdrücken, 

 wenn man für sie Fx = x^, und aus den allgemeinen Summen- 

 Ausdrucken, wenn man für sie Fx oder Fix = n^ setzt; denn 

 dann sind für erstere die Differenzen, für letztere die Sum- 

 men aller Ordnungen selbst blofs einfache Binomial-Coefficien- 

 ten, ohne allen Factor, indem A +1 * M = x fi _ t und 2 +1 rc M 

 = (n -+- l) M+ i ist. Die auf diesem Wege für einen Bino- 

 mial-Coefficienten mit ganzzahligem Zeiger sich ergebenden 

 Ausdrücke durch andere Binomial-Coefficienten, nebst den son- 

 stigen Gleichungen, die sich zwischen Binomial-Coefficienten 

 finden, sind sehr mannigfaltig. Die Abhandlung stellt über 30 

 auf; doch ist ihre Zahl, schon in den einfachsten Fällen, wohl 

 noch gröfser. Überdem vergröfsert sich die Mannichfaltigkeit der 

 Ausdrücke dadurch noch mehr, dafs sie meistens ganze positive 

 Zahlen und zum Theil auch beliebige Zahlen enthalten, welche 

 der Gröfse nach völlig willkührlich sind. 



In der Abhandlung, so wie in der Zusammenstellung der Be- 

 sultate am Schlüsse, sind überall beliebige Zahlen durch latei- 

 nische Buchstaben, ganze positive Zahlen aber ausschliefslich 

 durch griechische Buchstaben bezeichnet; so dafs sich die Be- 

 deutung der Formeln ohne Wort-Erklärung durch die blofse 

 Anschauung zeigt. 



Es wäre nun von dem besondersten Falle e = 1 zunächst 

 zu dem aligemeineren Falle, wo e nicht 1 ist, überzugehen ge- 

 wesen, und dann weiter zu dem Falle, wo der Zeiger der Bi- 

 nomial-Coefficienten nicht eine ganze positive Zahl, sondern 

 eine beliebige Zahl ist; was auf nicht mehr geschlossene, sondern 

 unendliche Beihen führt, deren Convergenz dann zu untersu- 

 chen wäre. Um aber die Abhandlung, die schon unvermeidlich 

 hat ziemlich ausgedehnt werden müssen, nicht zu sehr zu ver- 



