314 



Sind P, und P 2 irgend zwei solche Punkte, deren Polaren 

 P]~ x und J>" 2 ~' einander in irgend einem Punkte X berühren 

 .sollen, so mufs die Gerade P, P 2 allemal die Curve P in ir- 

 gend einen» Punkte P berühren, und so ist der Punkt X der 

 zu P reeiprocke Pol (J und die Gerade PO ist die gemeinsame 

 Tangente jener Polaren im Punkte Q. Also können alle ersten Po- 

 laren P"~' , P",~ { , .... einander nur in solchen Punkten O berüh- 

 ren, welche in der Kerncurve Q liegen, und somit zugleich 

 Doppelpunkte von einzelnen derselben sind. Jeder Tangente 

 PI', der Curve P entspricht ein Büschel erste Polaren (8.), 

 Ii(P"~'), die sich in einem und demselben Punkte Q berühren, 

 welcher der reeiprocke Pol zum Berührungspunkt P der Tan- 

 gente ist. Ist PP\ insbesondere eine Wendungstangente der 

 Kerncurve P ü , so osculiren sich ihre Polaren Ji(P"~') in Q\ 

 und ist PP t eine Doppcltangente von P , so berühren sich die 

 Polaren JB(PJ~') in zwei verschiedenen Punkten Q. Ist ferner 

 insbesondere P ein Doppelpunkt der Curve P , so hat seine 

 erste Polare P"-' zwei Doppelpunkte Q, und somit giehl es 

 eben so viele erste Polaren, welche zwei Doppelpunkte luibcn, 

 als die Kerncurve P Doppelpunkte hat; u. s. w. 



Die gesammlen ersten Polaren P"~\ P"i~\ P\~ '» •••• bil- 

 den ein sogenanntes Netz, welches durch irgend drei derselben 

 (die nicht zu einem Büschel gehören) bestimmt ist, und wo- 

 durch dann auch die Basis A" bestimmt wird. Haben die drei 

 gegebenen Curven gemeinschaftliche Punkte (1,2, 3, .... bis höch- 

 stens \(n — l) (m -+- 2) — 2), so sind dieselben Doppelpunkte der 

 Kerncurve O . Daher ist z. B. der Ort der Doppelpunkte (oder 

 der Berührungspunkte) aller Curven P* , welche durch dieselben 

 gegebenen !, .«■(.!■ -1- 3) — 2 Punkte d gehen, eine Curve (?J (r-,) , 

 welche die Punkte d zu Doppelpunkten hat. Sollen die Curven 

 P" durch !..i-(.« +.l) — 1 Punkte d gehen, so bilden sie ein Bü- 

 schel B(P') und dann haben sie zusammen 3(.» — l) 2 Doppel- 

 punkte. — *) 



*) Iber die obij>en Polaren (Polar- Envcloppcn) wird bemerkt, dafs 

 wenn man eine derselben zui Directrix annimmt, ihr ebenfalls eine Reihe 

 Polarcurren entsprechen, von denen die eine vorzugsweise ihre reeiprocke 

 Polare genannt wird. Nämlich wird von der .c 1 '" Polare einer Curve Z7, 



BISO VOn jrfr + i.-S)!. — » 



